Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Побудувати коло, яке проходить через певну точку та дотикається до двох заданих кіл, що дотикаються між собою.

Р озв’язання. Нехай задано точку та два кола та , які дотикаються у точці . Виберемо коло з центром у точці довільного радіуса у ролі кола інверсії. При інверсії точка відобразиться у деяку точку (якщо вибрати , то точки та будуть співпадати). Фігури, які будуть інверсними до кіл та , являтимуть собою, очевидно, дві паралельні прямі та , які не проходять через точку (теорема 2), а шукане коло (назвемо його ) перетвориться у коло , яке проходитиме через точку та матиме із прямими та по єдиній спільній точці, тобто буде до них дотикатися (рис. 8).

Задача про побудову кола , яке проходить через точку та дотикається до двох паралельних прямих та , є простішою. Радіус такого кола дорівнює половині відстані між паралельними прямими, а його центр розташований на середній лінії смуги, яка утворена паралельними прямими, та на відстані, яка дорівнює радіусу цього кола, від точки .

Після побудови кола ще одна інверсія переведе його у шукане коло . Справді, воно буде проходити через точку, інверсну до точки , тобто через точку , а також, маючи по єдиній спільній точці з прямими та , матиме також по єдиній спільній точці з колами та , тобто дотикатиметься до них.

У залежності від взаємного розташування заданих в умові задачі точки та кіл, можна отримати нуль, один або два розв’язки.

Зауважимо, що радіус кола інверсії доцільно вибрати так, щоб воно перетинало кола та , оскільки тоді побудова інверсних до кіл прямих здійснюється простіше, а саме за допомогою двох пар точок перетину заданих кіл з колом інверсії.

Задача 2. Побудувати коло, яке дотикається до даного кола, а також проходить через дві задані точки, які не належать колу.

Р озв’язання. Нехай задано точки та і коло . Виберемо в ролі кола інверсії коло з центром у точці , радіус якого рівний довжині дотичної, проведеної з точки до кола . При інверсії відносно цього кола точка відобразиться у деяку точку , коло відобразиться на себе, оскільки воно ортогональне до кола інверсії (теорема 3), а шукане коло , яке проходить через центр інверсії, перетвориться у пряму , яка проходить через точку та має із колом єдину спільну точу, тобто дотикається до нього (рис. 9).

З адача на мові інверсних фігур звелася до побудови прямої , яка проходить через точку та дотикається до кола . Один із способів розв’язання одержаної допоміжної задачі виглядає так. На відрізку, який сполучає дану точку з центром кола, як на діаметрі будується коло. Прямі, які проходять через дану точку та токи перетину двох кіл, є шуканими дотичними (рис. 10).

Наступна інверсія переводить одержані прямі у шукані кола . Справді, вони будуть проходити через центр інверсії –точку , точку , яка інверсна до точки , а також, маючи єдину спільну точку з колом , дотикатиметься до нього.

Задача може мати два, один або не мати жодного розв’язку у залежності від того, як розташовані точки відносно кола. Якщо одна з точок розташована всередині кола, а друга поза ним – то розв’язків не буде, а якщо обидві точки одночасно знаходяться всередині кола, або поза ним – то задача матиме два розв’язки.

Задача 3. Побудувати коло, яке дотикається до даних прямої та кола, а також проходить через задану точку.

Розв’язання. Нехай задано точку , пряму та коло . Як і у попередній задачі, виберемо в ролі кола інверсії коло з центром у точці , радіус якого дорівнює довжині дотичної, проведеної з точки до кола (рис. 11). При інверсії відносно цього кола коло відобразиться на себе, оскільки воно ортогональне до кола інверсії.

Нехай . Тоді пряма перейде у коло , яке проходить через точку , а шукане коло , яке проходить через центр інверсії, перетвориться у пряму , яка не проходить через точку . Оскільки коло має з прямою та колом єдину спільну точку, то пряма , маючи із колами та єдину спільну точку, буде дотикатися до них. Побудувавши пряму , яка дотикається до кіл та , а потім інверсувавши її відносно кола , отримаємо шукане коло .

О пишемо побудову спільної дотичної до двох кіл та з центрами у точках та , радіуси яких та задовольняють умову (якщо , то побудова дотичної очевидна). Якщо радіуси обох кіл зменшити на число , то коло перетвориться у коло з центром у точці та радіусом , а коло виродиться у точку . При цьому шукана дотична зміститься паралельно у напрямку точки на відстань (рис. 12) та перетвориться у дотичну до кола , яка проведена з точки . Спосіб побудови дотичної прямої ми розглядали у попередній задачі.

Розглянуті міркування дозволяють побудувати так звані зовнішні дотичні. Пропонуємо самостійно відшукати також спосіб побудови внутрішніх дотичних, коли задані кола розташовані у різних півплощинах відносно дотичної.

Якщо точка , то центр шуканого кола буде знаходитися у точці , в якій перетинається перпендикуляр , проведений до прямої у точці , із серединним перпендикуляром до відрізка . Точка знаходиться на перетині прямої із прямою , яка знаходиться на відстані від прямої (рис. 13).

Пропонуємо самостійно знайти частинні випадки, в яких дана задача має нуль, один, два, три або чотири розв’язки, а також переконатися у тому, що іншої кількості розв’язків бути не може.

Зауважимо, що розглянуті вище задачі є частинними випадками відомої задачі Аполлонія, яка полягає у побудові кола, яке дотикається до трьох заданих кіл. Ми розглянули три частинні випадки даної задачі, зокрема вироджені випадки, коли радіус одного із кіл рівний нулю і коло вироджується у точку, або коли радіус одного із кіл рівний і коло вироджується у пряму.