Практичне заняття № 30. Інверсія. Властивості та застосування Основні теоретичні факти.

Розглянемо множину всіх точок площини, крім деякої точки , та побудуємо відображення даної множини на себе. Для цього використаємо коло із центром у точці та радіусом . Кожній точці площини поставимо у відповідність таку точку , яка належить променю та виконується рівність

. (1)

Оскільки при такій відповідності різні точки переводяться у різні та кожна точка має єдиний прообраз, то дане відображення є перетворенням площини із “виколотою” точкою . Таке перетворення називають інверсією із центром у точці та коефіцієнтом . Коло називають колом інверсії. Позначимо інверсію символом . Якщо ,

Безпосередньо із означення випливають такі найпростіші властивості інверсії:

1) точки кола відображаються на себе;

2) точки, які розташовані всередині кола, відображаються у точки, які розташовані поза колом, а точки, які розташовані поза колом інверсії, відображаються у точки, які розташовані всередині кола;

3) якщо точка необмежено наближається до точки , то інверсна їй точка рухається у . Як наслідок, відстані між точками при інверсії не зберігаються;

4) якщо точка при інверсії переходить у точку , то точка переводиться у точку . Точки та називають інверсними.

5) якщо при інверсії фігура переходить у фігуру , то фігура переводиться у фігуру .

Р озглянемо способи побудови інверсних точок. Нехай точка розташовані всередині кола . Проведемо промінь та побудуємо у точці перпендикулярну до нього пряму . Нехай точка - одна із точок перетину прямої та кола . Точка, у якій перетинаються промінь та дотична до кола, яка проведена у точці , є шуканою інверсною точкою (рис. 1). Справді, із подібності прямокутних трикутників та випливає, що , тому , тобто точка є інверсною до точки .

Якщо точка розташована поза колом, то з неї спочатку проводять дотичну до кола, а потім з точки дотику опускають перпендикуляр на промінь . Точка перетину перпендикуляра із променем є шуканою інверсною точкою.

Нехай - координати деякої точки , а - координати інверсної до неї точки . При цьому вважається, що початок прямокутної декартової системи координат співпадає з центром інверсії - точкою . Співвідношення, які зв’язують координати точки та її образу при інверсії мають вид

(2)

і дають можливість, знаючи координати точки , знаходити координати інверсної до неї точки . Дані співвідношення називають формулами інверсії.

Оскільки образом точки при інверсії є точка , то рівності (2) можна також представити у виді

. (3)

Порівнюючи співвідношення (2), (3) з формулами афінних перетворень, можна зробити висновок, що інверсія не є афінним перетворенням.

Розглянемо образи деяких геометричних фігур при перетворенні інверсії.

Теорема 1. Пряма, яка проходить через центр інверсії, при інверсії відображається на себе. Пряма, яка не проходить через центр інверсії, при інверсії відображається на коло, яке проходить через центр інверсії.

Якщо пряма перетинає коло інверсії, але не проходить через його центр, то для побудови інверсного до неї кола використовують ці дві точки перетину та точку , які належать шуканому колу (рис. 2).

Якщо пряма дотикається до кола інверсії у деякій точці , то інверсним до прямої буде коло з діаметром (рис. 3).

У випадку, коли пряма не перетинає коло інверсії, через точку проводять пряму перпендикулярно до заданої прямої. Нехай вони перетинаються у деякій точці . Дальше для точки будується інверсна до неї точка та на діаметрі

будується інверсне до прямої коло (рис. 4).

Т еорема 2. Коло, яке проходить через центр інверсії, відображається на пряму, яка не проходить через центр інверсії. Коло, яке не проходить через центр інверсії, відображається на коло, яке не проходить через центр інверсії.

Для побудови кола, яке інверсне до заданого, можна знайти образи трьох точок заданого кола, або побудувати дві точки, які інверсні до кінців діаметра заданого кола. У випадку, коли задане коло має із колом інверсії спільні точки, їх можна використати при побудові шуканого інверсного кола, оскільки вони належать цьому колу (на рис. 5 – це точки та ). Потрібно розуміти, що центри інверсних кіл не є інверсними точками, тому шукати центр інверсного кола, як образ центра заданого кола є помилкою.

Кутом між двома лініями у деякій точці їх перетину називають кут між дотичними до цих ліній, які проведені у даній точці (рис. 6).

Теорема 3. При інверсії зберігаються кути.

Зауважимо, що перетворення площини, при яких зберігаються кути, називаються конформними.

Два кола називають ортогональними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Теорема 4. Коло, ортогональне до кола інверсії, переходить при інверсії в себе.

Д ля побудови кола, ортогонального до заданого, достатньо у довільній точці заданого кола провести дотичну, яка, очевидно, буде перпендикулярною до радіуса, проведеного у точку дотику. Коло з центром у довільній точці дотичної, яке проходить через точку дотику, буде ортогональним до заданого кола (рис. 7) і при інверсії відносно нього переходить у себе.

Суть методу інверсії при розв’язуванні геометричних задач полягає у тому, що поряд із заданими та шуканими точками, прямими та колами розглядаються також інверсні до них відносно певного кола фігури, тобто деякі інші точки, прямі та кола. При вдалому виборі кола інверсії це часто надає можливість звести початкову задачу до простішої. Покажемо це на окремих прикладах.