Задачі для самостійного розв’язання.

1. Записати формули осьової симетрії за координатами двох симетричних точок та .

2. Записати формули осьової симетрії, якщо вісь симетрії задана рівнянням .

3. Довести, що точки, симетричні до деякої точки відносно середин заданого чотирикутника, є вершинами паралелограма.

4. Знайти рівняння прямої, яка симетрична до прямої відносно осі симетрії, заданої рівнянням .

5. Знайти рівняння прямої, яка симетрична до прямої відносно осі симетрії, заданої рівнянням .

6. Записати формули перетворення, яке є композицією трьох осьових симетрій з осями , та .

7. На сторонах паралелограма поза ним побудовані правильні трикутники. Довести, що їх вершини, які не належать заданому паралелограму, є вершинами іншого паралелограма.

8. Поворот навколо точки відображає точку на точку . Обчислити координати точки , якщо:

1) ;

2) ;

3) .

9. Обчислити координати центра повороту, заданого формулами

.

10. Скласти рівняння образу прямої при повороті навколо точки на кут .

11. Скласти рівняння образу прямої при повороті навколо точки на кут .

12. На прямій , заданій рівнянням , взяли точку , а на прямій , рівняння якої , взяли точку . Записати формули повороту , при якому , .

13. Дано точку перетину медіан рівностороннього трикутника та рівняння прямої : . Записати рівняння прямих та .

14. Через центр правильного трикутника проведені дві прямі, кут між якими дорівнює . Довести, що при перетині цих прямих з трикутником утворюються рівні відрізки.

15. Задані два повороти з різними центрами. Побудувати нерухому точку композиції цих поворотів.

16. Записати формули ковзної симетрії, заданої віссю та вектором . Знайти координати образу точки .

17. Записати формули ковзної симетрії, заданої віссю та вектором . Знайти координати образу прямої .

18. Точки та лежать по одну сторону відносно деякої прямої. Довести, що на цій прямій існує точка така, що прямі та утворюють з даною прямою рівні кути.

19. В ортонормованому репері перетворення площини задане формулами . Довести, що це перетворення є рухом та встановити його вид.

20. Задані рівні відрізки . Скласти формули переміщення, яке переводить в , у , якщо , , , .

21. Площина повертається навколо точки на кут такий, що , . В яку пряму при цьому повороті перейде пряма ?

22. Задані координати вершин трикутників та : , , , , , . Довести, що трикутники рівні. Скласти рівняння руху, який суміщає вершини трикутників та встановити його вид.

Практичне заняття № 29. Гомотетія та перетворення подібності.

1. Нехай задане деяке дійсне число , а також на площині зафіксована довільна точка . Кожній точці площини поставимо у відповідність точку таку, що

. (1)

Оскільки при побудованій таким чином відповідності кожна точка має єдиний образ і різні точки мають різні образи, то введене правило задає перетворення площини. Таке перетворення площини називають гомотетією і позначають символом . Точку називають центром гомотетії, а число - коефіцієнтом гомотетії.

При вектори та напрямлені однаково, тому точки та лежать по одну сторону відносно точки .

П ри вектори та напрямлені протилежно, тому точки та лежать на прямій, яка містить точку , але по різні сторони відносно неї (рис. 1).

При виконується рівність , тому точки та співпадають. Отже, гомотетія з коефіцієнтом є тотожнім перетворенням.

При із умови (1) дістаємо, що . Одержана рівність означає, що точки та розташовані симетрично відносно точки . Тому гомотетія з коефіцієнтом є центральною симетрією з центром у точці .

Нехай задані дві гомотетії та із спільним центром у точці та коефіцієнтами і , а також та . Оскільки виконуються рівності та , то . Таким чином, композиція двох гомотетій із спільним центром та коефіцієнтами та є гомотетією із тим же центром та коефіцієнтом , тобто .

Із рівності (1) дістаємо , тобто перетворення, яке є оберненим до гомотетії , теж є гомотетією з тим же центром та коефіцієнтом : . Сказане вище дозволяє стверджувати, що множина всіх гомотетій із спільним центром утворює групу.

Виберемо на площині довільну афінну систему координат з початком у точці, яка є центром гомотетії, та розглянемо точку . Якщо точка є гомотетичною до точки , то із рівності (1) випливає, що

. (2)

Одержані співвідношення є частинним випадком формул

,

які визначають афінні перетворення, тому можна стверджувати, що група гомотетій є підгрупою групи афінних перетворень та володіє всіма властивостями останньої.

Якщо центр гомотетії розташувати у деякій точці , відмінній від початку координат, то формули (2) набудуть виду

. (3)

Нехай задані дві гомотетії з коефіцієнтами та з центрами у різних точках. Тоді при їх композиція є гомотетією з коефіцієнтом та центром у точці, яка належить прямій, що проходить через центри заданих гомотетій. При композиція гомотетій є паралельним перенесенням.

Розглянемо деякі властивості гомотетії. Як було сказано вище, гомотетія, будучи частинним випадком афінних перетворень, володіє всіма властивостями цих перетворень. Зокрема при гомотетії:

1) колінеарні вектори відображаються у колінеарні;

2) пряма відображається на пряму, причому паралельні прямі переходять у паралельні прямі;

3) відрізок переходить у відрізок, а точка, яка ділить відрізок у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у такому ж відношенні. Зокрема середина відрізка переходить у середину відрізка;

4) півплощина переводиться у півплощину;

5) перетворення гомотетії можна задавати відповідністю двох реперів та , де , .

В ластивість 2) дозволяє запропонувати спосіб відшукання образу довільної точки, якщо відомий центр гомотетії та пара відповідних гомотетичних точок. Справді, нехай і задана довільна точка . Якщо точка не належить прямій , то образ точки буде знаходитися на перетині прямої та прямої, яка проходить через точку паралельно до прямої (рис. 2). Якщо ж точка належить прямій , то спочатку знаходять образ довільної точки, яка не належить прямій , а потім за допомогою пари одержаних гомотетичних точок знаходять образ точки .

6) нехай задані дві різні паралельні прямі та , причому . Тоді існує єдина гомотетія, яка точку переводить у точку , а точку - у точку . Такою є гомотетія з коефіцієнтом та з центром у точці, в якій перетинаються прямі та (на рис. 2 – точка ). Умова того, що задані паралельні прямі – різні, не є обов’язковою.

6) при гомотетії відстані між точками змінюються в одне і те ж число разів. Рівні відрізки відображаються на рівні відрізки.

7) при гомотетії зберігаються величини кутів. Як наслідок, перпендикулярні прямі при гомотетії переходять у перпендикулярні.

8) при гомотетії коло з радіусом переходить у коло з радіусом , центр якого знаходиться у точці, яка є образом центра заданого кола.

9 ) існує дві гомотетії, кожна із яких переводить деяке коло у довільне неконгруентне коло (рис. 3).

Нехай задано дійсне число .

Означення. Перетворення площини, при якому відстані між точками змінюються в одне і те ж число разів, називається перетворенням подібності з коефіцієнтом подібності .

Згідно з означенням, якщо точки та відображаються при перетворенні подібності з коефіцієнтом на точки та , то .

Прикладом такого перетворення може бути гомотетія з довільним коефіцієнтом , при якій, як ми знаємо, відстані між точками змінюються в разів. Позначатимемо перетворення подібності з коефіцієнтом символом .

Перетворення подібності з коефіцієнтом є рухом, оскільки воно не змінює відстані між точками. Тому рухи є частинним випадком перетворень подібності.

Множина всіх перетворень подібності утворює групу. Справді, композиція двох перетворень, які змінюють відстані між образами точок в та число разів теж буде перетворення подібності, яке змінює відстані між парами відповідних точок у разів. Перетворення, обернене до , змінює відстані між прообразами в разів, тобто .

Встановимо зв'язок між групою перетворень подібності та групою афінних перетворень. Нехай - деяке перетворення подібності з коефіцієнтом . Тоді , де - гомотетія з центром у довільній точці та коефіцієнтом , - рух. Тому

.

Таким чином, довільне перетворення подібності з коефіцієнтом можна представити у вигляді композиції гомотетії з довільним центром і коефіцієнтом та руху. Оскільки обидва дані перетворення є афінними, то група перетворень подібності є підгрупою групи афінних перетворень і їй характерні всі властивості цієї групи.

Отже, при перетворенні подібності

1) колінеарні вектори відображаються у колінеарні;

2) пряма відображається на пряму, причому паралельні прямі переходять у паралельні прямі;

3) відрізок переходить у відрізок, а точка, яка ділить відрізок у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у такому ж відношенні. Зокрема середина відрізка переходить у середину відрізка;

4) півплощина переводиться у півплощину;

5) зберігаються величини кутів, зокрема перпендикулярні прямі переходять у перпендикулярні.

6). Перетворення подібності можна задавати відповідністю двох реперів та , де , , , - кут між векторами та . При такому способі задання перетворення точці , яка розглядається у початковому репері, ставиться у відповідність точка з такими ж координатами, але уже відносно другого репера.

Співвідношення

, (6)

де , є аналітичним вираженням перетворень подібності.

Назвемо дві фігури та подібними, якщо у групі перетворень подібності існує перетворення, яке фігуру відображає на фігуру . Той факт, що фігура подібна до фігури , будемо записувати у виді ~ .

Два довільні кола, квадрати та інші правильні многокутники із однаковим числом сторін, ромби з однаковим відношенням діагоналей – подібні. Із шкільному курсі геометрії відомі ознаки подібності трикутників, згідно з якими два трикутники подібні, якщо: 1) їхні відповідні сторони пропорційні, 2) вони мають по дві пропорційні сторони та рівні кути між ними, 3) вони мають по два рівні кути.

Відношення ~ “бути подібним”, задане на множині всіх геометричних фігур, є відношенням еквівалентності. Воно розбиває цю множину на класи еквівалентності, кожний із яких називають формою фігури.