Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Встановити вид лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Перетворимо задане рівняння до виду або . Одержане співвідношення запишемо у виді

.

Введемо заміну . Оскільки , то записані рівності визначають афінне перетворення, яке лінію, задану початковим рівнянням, переводить в афінно еквівалентну лінію, рівняння якої має вид . Очевидно, що дана лінія – гіпербола. Метод, яким ми користувалися, називають методом виділення повних квадратів.

Задача 2. Яку лінію задає рівняння ?

Розв’язання. Запишемо дане рівняння у виді або та введемо заміну

.

Визначник даного відображення відмінний від нуля, отже, воно є афінним перетворенням. Перетворене рівняння набуває виду і, очевидно, визначає параболу.

Задача 3. Обчислити площу паралелограма, утвореного при перетині двох пар паралельних прямих , та , .

Розв’язання. При афінному перетворенні

даний паралелограм перейде у прямокутник, обмежений прямими та (рис. 2), площа якого, очевидно, дорівнює

.

О скільки визначник матриці даного перетворення дорівнює і , то .

Задача 4. Обчислити площу еліпса .

Р озв’язання. Розглянемо афінне перетворення, задане рівностями

.

Воно відображає даний еліпс у одиничне коло (рис. 3). Площа відповідного круга . Оскільки визначник матриці даного перетворення дорівнює і , то .

Задачі для самостійного розв’язання. Практичне заняття № 28. Переміщення. Їх властивості та застосування. Основні теоретичні факти.

Частинним випадком афінних перетворень є перетворення, які зберігають відстані між точками. Перетворення, при яких зберігаються відстані між точками, називаються переміщеннями (рухами або ізометричними перетвореннями).

Згідно із означенням, якщо точки та рухом переводяться у точки та , то для будь-яких точок та .

Довільне переміщення однозначно можна задавати відповідністю двох ортонормованих реперів, або співвідношеннями

, (*)

де у випадку однойменної орієнтації базисів та і у випадку різнойменної орієнтації.

Поклавши у співвідношеннях (*) , можна досліджувати існування інваріантних (тобто таких, які переводяться в себе) точок переміщень.

Перетворення, яке є рухом, можна задавати також відповідністю двох рівних трикутників.

Позначимо множину всіх рухів через та нехай . Очевидно, що:

1) композиція двох переміщень, тобто перетворення , теж є рухом;

2) перетворення, обернене до руху, є рухом.

Із умов 1), 2) випливає, що множина всіх рухів утворює групу. Ця група є підгрупою групи афінних перетворень.

Якщо перетворення є рухом, то його можна задати співвідношеннями (*). При його називають рухом першого роду, а при - рухом другого роду.

Рухи першого роду утворюють підгрупу групи рухів. Множина рухів другого роду групи не утворює, оскільки композиція двох рухів другого роду не є рухом другого роду.

Група рухів, будучи підгрупою групи афінних перетворень, володіє всіма властивостями останньої. Тому:

1) при русі вектор переходить у вектор з такими ж координатами, зокрема колінеарні вектори відображаються у колінеарні (зауважимо, що координати векторів розглядаються відносно різних базисів);

2) рух відображає пряму на пряму, а паралельні прямі переводить у паралельні, причому відстані між парами цих паралельних прямих рівні;

3) при русі відрізок переходить у рівний відрізок, а точка, яка ділить відрізок у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у такому ж відношенні. Зокрема, при русі точка, яка є серединою відрізка переходить у точку, яка є серединою відрізка;

4) рух переводить півплощину у півплощину.

Крім перерахованих властивостей рухів вони, очевидно, володіють також деякими іншими властивостями, які не характерні для всієї групи афінних перетворень. Зокрема

5) при русі зберігається скалярний добуток векторів.

6) при русі кути переходять у рівні кути, зокрема перпендикулярні прямі переходять у перпендикулярні.

Назвемо дві фігури та конгруентними, якщо в групі рухів знайдеться перетворення, яке фігуру переводить у фігуру .

Відношення конгруентності є рефлексивним, симетричним та транзитивним, тому воно є відношенням еквівалентності. Як відомо, відношенням еквівалентності, задане на деякій множині, розбиває цю множину на класи еквівалентності.

Відношення конгруентності розбиває множину всіх геометричних фігур на класи конгруентних фігур. Дві фігури, які належать одному класу конгруентності, називають рівними. Наприклад, клас конгруентних трикутників (або чотирикутників) утворюють всі трикутники (чотирикутники), у яких рівні відповідні сторони та кути. Всі кола однакового радіуса конгруентні. У шкільному курсі геометрії доводиться ряд теорем, які визначають клас конгруентних трикутників. Це так звані ознаки рівності трикутників. Відповідно до цих теорем, для рівності двох трикутників достатньо, щоб вони мали: 1) по три рівні сторони, 2) по дві рівні сторони та рівні кути між ними, 3) по рівній стороні та по два рівні прилеглі до них кути.

Наведемо приклади окремих переміщень.

1. Нехай заданий вектор , паралельний до деякої площини. Довільній точці площини поставимо у відповідність точку таку, що . Одержане перетворення, яке ми дальше будемо позначати символом , називається паралельним перенесенням на вектор .

2. Нехай на площині задана деяка пряма . Кожній точці площини поставимо у відповідність симетричну їй відносно прямої точку . Нагадаємо, що дві точки називаються симетричними відносно деякої прямої, якщо відрізок, який їх сполучає, перпендикулярний до даної прямої та ділиться нею пополам. Симетричними до точок на прямій вважаються ці самі точки. Побудоване таким чином відображення є перетворенням площини. Його називають симетрією відносно прямої або осьовою симетрією. Пряму при цьому називають віссю симетрії. Розглянуте перетворення дальше будемо позначати символом .

3. Зафіксуємо на площині деяку точку та поставимо у відповідність довільній точці точку , симетричну їй відносно точки (тобто точка є серединою відрізка ). Симетричною до точки вважається ця сама точка. Побудоване перетворення площини називають симетрією відносно точки або центральною симетрією. Точку називають центром симетрії. Позначати перетворення центральної симетрії будемо символом .

4. Розглянемо на площині деяку точку та орієнтований кут , тобто кут із вказаним на ньому напрямком повороту однієї сторони кута до суміщення з другою найкоротшим шляхом. Поставимо у відповідність довільній точці точку таку, що та орієнтовані кути та рівні. У цьому випадку кажуть, що точку одержали в результаті повороту точки навколо точки на кут . Точці при цьому поставимо у відповідність цю саму точку. Ми одержали перетворення площини, яке називають поворотом навколо точки на кут та позначають . Очевидно, що поворот навколо точки на кут є центральною симетрією з центром у даній точці, тобто .

Розглянемо частинні випадки співвідношень (*), тобто окремі види рухів.

1 . При та формули (*) набувають виду

. (1)

У цьому випадку точка переводиться у точку , тому . Оскільки вектор сталий і не залежить від вибору точки , то перетворення, яке задається формулами (1), є паралельним перенесенням на вектор (рис. 1). Тобто задання паралельного перенесення рівносильне заданню співвідношень (1). Послідовне виконання двох паралельних перенесень спочатку на вектор , а потім на вектор буде паралельним перенесенням на вектор . Воно задаватиметься співвідношеннями

. (2)

Оберненим до є паралельне перенесення на вектор . Воно задається рівностями

. (3)

Співвідношення (2) та (3) аналітично обґрунтовують той факт, що множина паралельних перенесень утворює групу. Вона є підгрупою рухів, тому володіє всіма властивостями групи рухів. Оскільки додавання векторів комутативне, тобто для довільних векторів та виконується рівність , то група паралельних перенесень є комутативною.

2. Нехай , та . Тоді рівності (*) запишуться у виді

. (4)

Точки та розташовані симетрично відносно осі . Тому формули (4) задають осьову симетрію з віссю симетрії .

О скільки осьова симетрія є рухом, то для неї теж виконуються всі властивості групи рухів. Очевидно, що осьова симетрія є рухом другого роду і змінює орієнтацію площини. Множина осьових симетрій з різними осями симетрії групи не утворює, оскільки композиція двох осьових симетрій не змінює орієнтації площини і тому не може бути осьовою симетрією.

Покажемо, як можна шукати формули симетрії у випадку, коли віссю симетрії є довільна пряма.

Нехай деяка пряма , яка задана рівнянням , є віссю симетрії (рис. 2). Якщо точки та розташовані симетрично відносно прямої , то координати середини відрізка , тобто числа та задовольнятимуть рівняння прямої. Тому виконується рівність

.

З іншого боку, оскільки вектор , який паралельний до прямої , є перпендикулярним до вектора , то виконується рівність або

.

Система, складена із двох одержаних рівнянь дозволяє виразити змінні та через та , тобто знайти шукані формули симетрії.

3. Нехай та . Тоді рівності (2) набувають виду

. (5)

У даному випадку початок координат не змінює свого положення, а вектори

м

ожна отримати поворотом початкового базису навколо початку координат на кут . Таким чином, точку ми отримуємо, виконавши поворот точки навколо початку координат на кут (рис. 3). Співвідношення (5) називають формулами повороту.

При повороті на кут формули (5) набувають виду

та виражають собою центральну симетрію з центром у початку координат, тобто .

Нехай та . Тоді рівності (*) запишуться у виді

.

Перетворення, яке задається за допомогою одержаних співвідношень, називається ковзною симетрією.

Рівності

,

дають підставу стверджувати, що ковзна симетрія являє собою композицію осьової симетрії з віссю симетрії та паралельного перенесення на вектор , який паралельний до осі симетрії. Позначають ковзну симетрію символом , де - пряма, яка є віссю симетрії, а вектор паралельний до прямої (рис. 4). Для ковзної симетрії виконується рівність

.

Н ехай на площині задані дві точки та . Розглянемо перетворення площини, яке полягає у тому, що довільна точка спочатку симетризується відносно точки , а потім її образ симетризується відносно точки . Очевидно, що мова іде про композицію двох центральних симетрій . Нехай та (рис. 5).

Якщо точка не належить прямій , то у трикутнику відрізок буде середньою лінією, тому . Аналогічну рівність легко отримати і у випадку, коли точка належить прямій . Таким чином, композиція двох центральних симетрій переводить точку у точку , тому має місце рівність

.

Н ехай на площині задані три точки , та , які не лежать на одній прямій. Розглянемо питання, яке перетворення являє собою композиція трьох центральних симетрій відносно даних точок, тобто перетворення . Нехай , та , а також точка є серединою відрізка (рис. 6). Тоді чотирикутник буде паралелограмом, оскільки відрізки та рівні та паралельні (вони є середніми лініями трикутників та ). Таким чином, точки та симетричні відносно точки .

Отже,

,

де точка - четверта вершина паралелограма .

Р озглянемо композицію двох осьових симетрій відносно паралельних прямих та , тобто перетворення . Нехай відстань між прямими дорівнює . Щоб встановити вид перетворення введемо у розгляд прямокутну декартову систему координат, направивши вісь по прямій . Нехай пряма перетинає вісь у точці . Тоді при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку , а при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку , оскільки точка є серединою відрізка (рис. 7). Звернувши увагу на те, що вектор не залежить від вибору точки , робимо висновок, що перетворення є паралельне перенесення на вектор , довжина якого дорівнює подвійній відстані між прямими та і який напрямлений перпендикулярно до заданих прямих від прямої до прямої . Таким чином,

.

Одержану рівність можна розуміти і навпаки, а саме: довільне паралельне перенесення на вектор можна замінити композицією двох осьових симетрій відносно двох паралельних прямих, проведених перпендикулярно до вектора та розташованих на відстані .

Р озглянемо композицію двох осьових симетрій відносно двох прямих та , які перетинаються. Позначимо дане перетворення через та встановимо його вид. Будемо вважати, що дані прямі перетинаються у деякій точці та утворюють кут . Нехай при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку , а при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку (рис. 8). Легко бачити, що , а також, що . Тому перетворення є поворот навколо точки на кут :

.

Навпаки, будь-який поворот навколо точки на кут можна розглядати, як композицію двох осьових симетрій відносно двох прямих, які перетинаються у точці та утворюють кут .

Звернемо увагу також на той важливий та цікавий факт, що будь-який рух першого роду можна представити у вигляді композиції не більше, як двох осьових симетрій. Будь-який рух другого роду представляється у вигляді композиції не більше, як трьох осьових симетрій.