
- •Практичне заняття № 27. Афінні перетворення. Основні теоретичні факти.
- •Приклади розв’язання задач.
- •Задачі для самостійного розв’язання. Практичне заняття № 28. Переміщення. Їх властивості та застосування. Основні теоретичні факти.
- •Приклади розв’язання задач.
- •Задачі для самостійного розв’язання.
- •Приклади розв’язання задач.
- •Практичне заняття № 30. Інверсія. Властивості та застосування Основні теоретичні факти.
- •Приклади розв’язання задач.
Практичне заняття № 27. Афінні перетворення. Основні теоретичні факти.
Розглянемо
відображення
,
яке кожну точку площини
переводить у точку
та задається співвідношеннями
.
(1)
Матриця
вважається невиродженою, тобто
.
Система рівнянь (1) однозначно розв’язується
відносно
та
,
зокрема
.
(2)
Тому відображення , яке різні точки площини переводить у різні, буде перетворенням площини. Перетворення площини, яке задається рівностями (1), називається афінним.
Позначимо множину
всіх афінних перетворень площини через
та виберемо в ній два перетворення
та
,
перше з яких задається рівностями (1), а
друге – рівностями
,
(3)
де
- невироджена матриця.
Нехай при перетворенні
точка
перейде у точку
,
а при перетворенні
точка
перейде у точку
.
Перетворення, яке точку
переводить у точку
назвемо композицією
перетворень
та
.
Позначимо операцію композиції символом
та знайдемо рівності, якими визначається
відображення
.
Користуючись спочатку рівністю (3), а
потім рівністю (1), дістаємо
,
(4)
де
.
Очевидно, що матриця
невироджена, оскільки
.
Тому рівність (4) визначає деяке
перетворення
.
Із рівності (2) випливає, що разом із
кожним перетворенням
множина
містить також обернене до нього
перетворення
.
Таким чином пара
є групою. Цю групу називають групою
афінних перетворень.
Роль нейтрального елемента в цій групі
відіграє тотожне перетворення, яке
задається рівностями
.
Група афінних перетворень є підгрупою
групи перетворень площини.
Розглянемо інший спосіб, яким, крім рівностей (1), можна задавати афінні перетворення.
Поряд із деякою
афінною системою координат
,
відносно якої розглядається точка
та її образ при перетворенні (1) - точка
,
введемо у розгляд іншу систему координат
із початком у точці
та базисними векторами
та
,
які є лінійно незалежними, оскільки
.
Образ точки
при перетворенні (1) у новій системі
координат
має такі самі координати, як точка
.
Одержаний факт дозволяє задавати афінні
перетворення наступним чином.
На площині вибираються дві довільні афінні системи координат (репери) і після цього точці, яка має відносно однієї із систем певні координати ставиться у відповідність точка із такими ж координатами, але уже відносно другого репера. Побудоване таким чином відображення є афінним перетворенням.
Перерахуємо основні властивості афінних перетворень.
1. Вектор
при афінному перетворенні переходить
у вектор
з такими ж координатами.
2. При афінному перетворенні колінеарні вектори відображаються у колінеарні.
3. При афінному перетворенні пряма переходить у пряму, а паралельні прямі – у паралельні.
4. При афінному перетворенні відрізок переходить у відрізок, причому точка, яка ділить відрізок, який ми відображаємо, у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у тому ж відношенні.
5. При афінному перетворенні півплощина перетворюється у півплощину.
6. Існує єдине афінне перетворення, яке одну трійку неколінеарних точок (тобто точок, які не лежать на одній прямій) переводить в іншу трійку неколінеарних точок.
Для того, щоб задати
перетворення, яке три неколінеарні
точки переводить у три неколінеарні,
достатньо побудувати дві афінні системи
координат
та
,
де
,
,
,
.
Афінне перетворення, яке визначається
цими двома системами координат, переводить
точки
та
відповідно у точки
та
,
і є шуканим.
Назвемо фігуру
афінно
еквівалентною
фігурі
,
якщо в групі афінних перетворень
знайдеться перетворення, яке фігуру
переводить у фігуру
.
Відношення афінної еквівалентності має властивості рефлективності, симетричності та транзитивності. Це означає, що:
1) кожна фігура афінно еквівалентна сама собі (вона переводиться в себе тотожнім перетворенням);
2) якщо фігура афінно еквівалентна фігурі то фігура афінно еквівалентна фігурі , оскільки вона переводиться в неї оберненим перетворенням;
3) якщо фігура
афінно еквівалентна фігурі
,
а фігура
- фігурі
,
то фігура
афінно еквівалентна фігурі
,
оскільки вона переводиться в неї
перетворенням, яке є композицією двох
перетворень, перше з яких переводить
у
,
а друге -
у
.
Наведемо приклади афінно еквівалентних фігур.
1
).
Два довільні трикутники афінно
еквівалентні.
2). Два опуклих чотирикутники будуть афінно еквівалентними, якщо точка перетину ділить їхні діагоналі в одному і тому ж відношенні.
На рисунку 1
зображено чотирикутники
та
.
Вони будуть афінно еквівалентними, якщо
виконуються рівності
та
.
3). Два довільні еліпси, дві гіперболи та дві довільні параболи афінно еквівалентні.
Існує 9 класів афінно еквівалентних ліній другого порядку: еліпси (дійсні та уявні), гіперболи, параболи, дійсні прямі, які перетинаються, паралельні або співпадають та уявні прямі, які перетинаються у дійсній точці або паралельні.
Дамо відповідь на
питання, як при афінних перетвореннях
змінюються площі відповідних фігур.
Розпочнемо із трикутника. Нехай у
прямокутній декартовій системі координат
три неколінеарні точки
визначають деякий трикутник з площею
.
При афінному перетворенні
вершини трикутника
перейдуть у нові точки
.
Площу
трикутника
можна обчислити за допомогою співвідношення
=
При афінному перетворенні зберігається відношення площ двох довільних трикутників.
Оскільки площі більш складних геометричних фігур можна обчислювати за допомогою граничного переходу через площі вписаних у ці фігури трикутників, то можна стверджувати, що при афінному перетворенні зберігається відношення площ двох довільних фігур.