Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням прямої навколо осі .

Розв’язання. Нехай точка належить поверхні обертання. Проведемо через цю точку площину, перпендикулярно до осі . Нехай вона перетинає вісь у деякій точці та задану пряму в точці . Оскільки площина перетинає поверхню обертання по колу, то , звідки або . Очевидно, що ця поверхня являє собою однопорожнинний гіперболоїд обертання з віссю та центром у точці ( ).

Задача 2. Скласти рівняння конуса, описаного навколо сфер та .

Р озв’язання. Очевидно, що шуканий конус є круговим конусом з віссю . У перерізі конуса та заданих сфер площиною отримаємо два кола і та дві дотичні до них прямі, що перетинаються на осі у вершині конуса (рис. 6) Знайдемо цю точку. Проведемо радіуси та в точки дотику. Нехай . Тоді . З подібності та дістаємо , звідки . Таким чином, і . Це дозволяє записати рівняння прямої у виді та отримати рівняння конуса, що утворюється при обертанні цієї прямої навколо осі : .

Відповідь. .

Задача 3. Скласти рівняння конуса обертання, знаючи рівняння трьох прямих на його поверхні:

, , .

Розв’язання. Очевидно, що вершина конуса розташована у точці перетину заданих прямих, тобто у точці . Нехай точка належить шуканій поверхні, а площина, що проходить через цю точку перпендикулярно до осі конуса, перетинає прямі у точках , , . Ці чотири точки рівновіддалені від вершини конуса та розташовані на колі. З умови отримуємо співвідношення (*). Тепер запишемо умову того, що точки лежать в одній площині у вигляді умови компланарності векторів , та . Використавши для спрощення колінеарні до двох останніх вектори, дістаємо рівність

, звідки . Підставивши знайдене значення у співвідношення (*), отримуємо відповідь.

Відповідь. .

Задача 4. Скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням прямої навколо осі .

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій фігурі. Проведемо через цю точку площину, перпендикулярну до осі . Нехай вона перетинає задану пряму у деякій точці та вісь у точці (рис. 7). Оскільки перерізом буде коло, то . Враховуючи це, а також те, що абсциси всіх трьох вказаних точок рівні, отримуємо систему

,

з якої, виключаючи змінну , знаходимо рівняння шуканої поверхні. Вона являє собою однопорожнинний гіперболоїд.

Відповідь. .

Задача 5. Довести, що через кожну точку поверхні проходять дві її прямолінійні твірні.

Розв’язання. Розглянемо дві системи та . Очевидно, що вони сумісні та являють собою - та - параметричні сім’ї прямих. Розв’язки цих систем задовольняють рівняння поверхні, тому ці прямі є її прямолінійними твірними. Нехай - довільна точка на поверхні. Покажемо, що існують значення параметрів та , при яких відповідні прямолінійні твірні проходять через цю точку. Для цього покажемо, що система рівнянь має розв’язки відносно змінних та . При отримуємо, що і , тому значення та є розв’язками системи. При маємо та , тому і досліджувана система теж має єдиний розв’язок. Таким чином, для довільної точки заданої поверхні існує єдина пара її прямолінійних прямих, що проходять через неї.

Задача 6. Скласти рівняння поверхні, утвореної рухом прямої, яка одночасно перетинає три задані мимобіжні прямі

та .

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій поверхні, а пряма, що проходить через точку , перетинає задані прямі в точках та відповідно. Із колінеарності векторів та дістаємо рівності . Прирівнюючи координати, отримуємо систему рівнянь , , з якої потрібно виключити змінні параметри та . Послідовно знаходимо , звідки . Тепер із рівності дістаємо , або, остаточно, . Зауважимо, що отримане рівняння є рівнянням гіперболічного параболоїда. Його можна отримати із відомого нам рівняння , перейшовши до іншої системи координат, а саме до координатної системи, утвореної поворотом даної на кут навколо осі . Взаємно перпендикулярні прямолінійні твірні поверхні , які лежать в площині та задаються рівняннями , у цьому випадку займають положення нових координатних осей.