Практичне заняття № 19. Циліндричні та конічні поверхні. Поверхні обертання. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку. Основні теоретичні факти.

Нехай у просторі задана деяка лінія та вектор .

Означення 1. Множину всіх прямих, які перетинають задану лінію та паралельні даному вектору, називають циліндричною поверхнею.

Для того, щоб скласти рівняння такої поверхні в деякій афінній системі координат, вважатимемо, що лінія задана системою рівнянь

, (1)

т обто задана, як лінія перетину двох поверхонь, а вектор заданий своїми координатами: . Нехай точка належить циліндричній поверхні. Проведемо через неї у напрямку вектора пряму, яка перетне лінію у деякій точці (рис. 1). З рівності дістаємо співвідношення, які відображають зв’язок між координатами векторів та :

. (2)

Оскільки точка належить лінії , то виконуються рівності

. (3)

Підставляючи рівності (2) в (3), дістаємо

.

Одержані співвідношення містять змінний параметр , виключаючи який із системи, дістаємо певну рівність

,

яка встановлює зв’язок між змінними та і є шуканим рівнянням циліндричної поверхні. Лінію називають напрямною, а прямі, які перетинають та мають напрям вектора - твірними циліндричної поверхні.

Користуючись наведеним алгоритмом, складемо рівняння циліндричної поверхні, напрямною якої є лінія, що лежить в площині та має рівняння , а твірні паралельні до осі . Рівності (2) у цьому випадку матимуть вигляд

.

П ідставляючи їх у систему , дістаємо рівняння циліндричної поверхні , яке, як бачимо, співпадає з рівнянням лінії. Вибираючи в ролі напрямних лінії другого порядку: еліпс (зокрема коло), гіперболу та параболу, дістаємо три види поверхонь другого порядку, які є частинними випадками циліндричних поверхонь: - еліптичний циліндр (зокрема - круговий циліндр, рис. ), - гіперболічний циліндр (рис. ) та - параболічний циліндр (рис. ).

Нехай у просторі задана деяка лінія та точка .

Означення 2. Множину всіх прямих, які перетинають задану лінію та проходять через дану точку , називають конічною поверхнею.

З найдемо рівняння конічної поверхні, вважаючи, що лінія задана системою рівнянь

,

а точка задана своїми координатами: .

Нехай точка належить конічній поверхні. Проведемо через неї та точку пряму, яка перетне лінію в деякій точці (рис. 3).

Очевидно, що вектори та будуть колінеарні. З рівності дістаємо співвідношення, які пов’язують координати векторів:

. (4)

Оскільки точка належить лінії , то виконуються рівності , підставляючи в які співвідношення (4), дістаємо

.

Виключаючи з одержаних рівностей змінний параметр , дістаємо рівність , яка і є рівнянням конічної поверхні. Лінію називають напрямною, прямі, які перетинають та проходять через точку - твірними, а точку - вершиною конічної поверхні.

Складемо рівняння конічної поверхні, напрямною якої є лінія , тобто еліпс, розташований в площині , а вершина знаходиться у початку координат. Нехай точка належить конічній поверхні, а точка належить заданій напрямній та променю . З векторної рівності дістаємо .

Підставивши одержані співвідношення у систему , отримуємо рівності , звідки, виключаючи параметр , дістаємо (*).

Одержане рівняння є рівнянням шуканої конічної поверхні. При напрямна буде колом, а рівняння (*) зведеться до виду . Це рівняння задає поверхню другого порядку, яку називають круговим конусом (рис. 4).

Поверхні, які утворюються при обертанні деякої лінії навколо певної прямої (вважається, що лінія та пряма лежать в одній площині) називаються поверхнями обертання.

Нехай у площині рівняння , де , задає деяку лінію . Розглянемо поверхню, утворену в результаті її обертання навколо осі (рис.5).

Нехай точка належить поверхні. Проведемо через неї площину перпендикулярно до осі , яка перетне вісь в деякій точці , а також лінію у точці . Оскільки та , то .

Одержана рівність виражає зв'язок між змінними та , тому є рівнянням шуканої поверхні..

Наведемо приклади поверхонь обертання. Нехай у площині задана пряма . При її обертанні навколо осі дістаємо поверхню, яка задається рівнянням , тобто є конусом. При обертанні навколо осі прямої дістаємо круговий циліндр . Обертання еліпса , гіперболи , або параболи навколо осі приводить нас до рівнянь , та , які, як нам уже відомо, виражають еліпсоїд, гіперболоїд та параболоїд обертання.

Введемо поняття прямолінійних твірних поверхонь другого порядку.

Означення 3. Пряму, кожна точка якої належить поверхні, називають прямолінійною твірною цієї поверхні.

Очевидно, що кожна твірна циліндричної та конічної поверхні є її прямолінійною твірною. Дослідимо питання існування прямолінійних твірних у випадку інших поверхонь. Для таких поверхонь, як еліпсоїд, двопорожнинний гіперболоїд та еліптичний параболоїд прямолінійних твірних не існує.

У випадку однопорожнинного гіперболоїда , рівняння якого доцільно записати у виді , кожна із систем

,

визначає - та - параметричні сім’ї прямолінійних твірних цієї поверхні.

Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить рівно по одній прямій з кожної - та - параметричних сімей прямих. Дві довільні прямолінійні твірні, які визначаються однією системою, мимобіжні, а дві прямолінійні твірні, визначені різними системами, при умові перетинаються.

У випадку гіперболічного параболоїда , рівняння якого можна записати у виді , - та - параметричні сім’ї прямолінійних твірних задають системи рівнянь , .

Через кожну точку гіперболічного параболоїда проходить рівно по одній прямій з кожної із цих - та - параметричних сімей прямих. Дві довільні прямолінійні твірні, які визначаються однією системою, мимобіжні, а дві прямолінійні твірні, визначені різними системами, перетинаються.