Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Скласти рівняння фігури, яку утворюють центри всіх сфер, що дотикаються до площини та сфери .

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій фігурі - центр та - радіус заданої сфери. Оскільки , то отримуємо рівняння , або після спрощень . Очевидно, що дана фігура є параболоїдом обертання.

Відповідь. .

Задача 2. Скласти рівняння множини точок у просторі, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок є заданою сталою величиною.

Розв’язання. Нехай задані точки та і відрізок . Введемо прямокутну декартову систему координат, вибравши за точку середину відрізка та прийнявши пряму за вісь Задані точки відносно введеної системи матимуть координати F₁(c;0;0), F₂(-c;0;0). Нехай - одна із точок шуканої множини. Тоді із рівності дістаємо . Запишемо одержане співвідношення у виді , звідки після піднесення до квадрату та спрощень дістаємо . Повторне піднесення до квадрату дозволяє записати одержану рівність у виді . Оскільки a>c і можна ввести заміну = то, розділивши рівняння на , дістаємо кінцевий результат у виді рівняння . Очевидно, що воно задає еліпсоїд обертання з віссю .

Відповідь. .

Задача 3. Скласти рівняння поверхні, утвореної прямими, які дотикаються до сфери та перетинають прямі і .

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій фігурі. Проведемо через цю точку пряму, що дотикається до сфери та перетинає задані прямі у деяких точках та (тут та - деякі параметри). Знайдемо умови, при яких пряма буде дотикатися до сфери. Для цього запишемо параметричні рівняння прямої у виді та будемо вимагати, щоб система мала єдиний розв’язок. Прирівнюючи до нуля дискримінант рівняння дістаємо або . Залишається виключити із системи рівнянь параметри і . Перемноживши друге та третє рівняння, дістаємо . Врахувавши тепер перше рівняння, маємо .

Щоб встановити вид поверхні, виконаємо поворот системи координат на кут навколо осі . Формули повороту при цьому задаються рівностями . Тоді рівняння поверхні запишеться у виді і визначають, очевидно, однопорожнинний гіперболоїд.

Відповідь. .

Задача 4. Площина, що проходить через вісь , перетинає еліпсоїд по колу. Скласти рівняння цієї площини.

Розв’язання. Очевидно, що площина не задовольняє умову задачі, тому шуканою площиною буде площина виду . Система

визначає еліпси, малі півосі яких знаходяться на осі і дорівнюють 3, а великі розташовані у площині і змінюються у залежності від параметра в межах від 2 до 6 (рис. 6). Їх довжину знайдемо із системи , розв’язки якої визначають точки . Вони знаходяться від початку координат на відстані . З умови , тобто, коли еліпс вироджується у коло, дістаємо рівняння , звідки .

Відповідь. .

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Скласти рівняння сфери, коли:

1) її центр знаходиться у точці і радіус ;

2) точки та є кінцями одного із діаметрів;

3) її центр знаходиться у точці і сфера дотикається до площини ;

4) вона проходить через точку і дотикається площини у точці .

2. Скласти рівняння сфери, описаної навколо піраміди з вершинами , , , .

3. Скласти рівняння сфери, діаметром якої є відрізок з кінцями у точках та .

4. Визначити радіус кола .

5. Складіть рівняння кола, з діаметром , яке проходить через точку , якщо відомі координати точок і .

6. Визначте координати центра і довжину радіуса для кожної з наступних сфер:

1) ,

2) ,

3) .

7. Складіть рівняння сфери, якщо відомо, що вона проходить через точки , , , .

8. Знайдіть точки перетину прямої з поверхнею: .

9. Знайдіть точки перетину прямої з поверхнею: .

10. Вказати взаємне розміщення еліпсоїда та площини у залежності від значень параметра .

11. Визначити центр та півосі еліпсоїда .

12. На поверхні знайти точки, координати яких рівні.

13. Як розташовані в просторі сфери та ?

14. Дослідити методом перерізів наступні поверхні, задані в прямокутній декартовій системі координат:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) 8) ;

9) ; 10) .

15. Визначити проекції еліпса на координатні площини.

16. Визначити проекції лінії на координатні площини. Встановити вид лінії:

1)

3)

2)

4)

17. Скласти рівняння колового перерізу циліндра площиною, яка проходить через вісь .

18. Скласти рівняння колового перерізу еліпсоїда площиною, яка проходить через вісь .

19. Скласти рівняння колового перерізу еліптичного параболоїда площиною, яка проходить через точку (0, 0, 4) та паралельна до осі .

20. Зобразити тіло, обмежене поверхнями:

1) та ;

2) , та ;

3) , та ;.

4) ; 5) ;

6) ; 7) .