Практичне заняття № 18. Поверхні другого порядку: еліпсоїд, гіперболоїди та параболоїди.
Основні теоретичні факти.
Рівняння з трьома
змінними
називають рівнянням деякої поверхні
,
якщо координати кожної точки поверхні
в деякій афінній системі координат
задовольняють це рівняння, а також
кожний розв’язок
рівняння задає точку на поверхні. Зокрема
рівняння
задає сферу з
центром у точці
,
радіус якої
.
Наведемо приклади інших поверхонь
другого порядку.
Еліпсоїд – це поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат може бути задана рівнянням
.
Дане рівняння називають канонічним рівнянням еліпсоїда. Безпосередньо із рівняння випливають наступні властивості цієї поверхні:
1) поверхня симетрична відносно початку координат, координатних площин та осей;
2) еліпсоїд перетинає
координатні осі в точках
,
,
,
,
,
;
3) точки еліпсоїда
розташовані всередині прямокутного
паралелепіпеда, який визначається
системою нерівностей
.
4) перерізи еліпсоїда площинами, що паралельні до координатних площин, являють собою еліпси.
Поверхню зображено на рис. 1.
Т
очки
та
називають вершинами
еліпсоїда,
початок координат – його центром,
а числа
та
- півосями
еліпсоїда.
Рівняння
задає поверхню
обертання. Її називають еліпсоїдом
обертання
з віссю обертання
.
Аналогічно, рівняння
та
задають еліпсоїди обертання з осями
обертання
та
відповідно. При
рівняння
виражає сферу.
Однопорожнинний гіперболоїд - це поверхня, яка у деякій прямокутній системі координат може бути задана рівнянням
.
Його називають канонічним рівнянням однопорожнинного гіперболоїда.
Аналогічно, як і у попередньому випадку, координатні площини є площинами симетрії, координатні осі – осями симетрії, а початок координат – центром симетрії для однопорожнинного гіперболоїда. Поверхня перетинає координатні осі в точках , , , , а вісь - не перетинає.
У плоских перерізах однопорожнинного гіперболоїда, що паралельні до координатних площин, можна отримати еліпси, гіперболи та пари прямих, що перетинаються. Поверня зображена на рис. 2.
Точки
,
,
в яких координатні осі перетинають
однопорожнинний гіперболоїд, називають
вершинами
однопорожнинного гіперболоїда,
а початок координат – його центром.
Рівняння
задає
поверхню обертання. Її називають
однопорожнинним
гіперболоїдом обертання з
віссю обертання
.
Поверхню, задану
рівнянням
,
називають двопорожнинним
гіперболоїдом.
Дана поверхня симетрична відносно
координатних площин, координатних осей
та початку координат. Вісь
перетинає її у двох точках
та
.
Інші дві координатні осі спільних точок
із поверхнею не мають. На двопорожнинному
гіперболоїді немає точок, абсциси яких
задовольняють нерівність
.
Зображення двопорожнинного гіперболоїда
наведено на рисунку 3. У перерізах
двопорожнинного гіперболоїда площинами
утворюються еліпси та гіперболи.
При
ми отримуємо поверхню, яка задається
рівнянням
і називається двопорожнинним
гіперболоїдом обертання з
віссю обертання
.
Еліптичний параболоїд – це поверхня, яка у деякій прямокутній системі координат можна задати рівнянням
.
Дане рівняння
називають канонічним
рівнянням еліптичного параболоїда.
Серед деяких властивостей цієї поверхні
відмітимо, що вона симетрична відносно
координатних площин
,
та осі
.
Існує єдина спільна точка поверхні та
координатних осей – це початок координат.
Всі інші точки поверхні розташовані
над площиною
(рис. 4).
Плоскими перерізами поверхні площинами є еліпси та параболи.
П
ри
рівняння
задає поверхню, яку називають параболоїдом
обертання
з віссю обертання
.
Гіперболічний параболоїд – це поверхня, яка задається рівнянням
.
Його називають канонічним рівнянням гіперболічного параболоїда. Дана поверхня симетрична відносно координатних площин , та осі . Очевидно, що поверхня проходить через початок координат.
Площина перетинає поверхню по двох прямих, які перетинаються в початку координат. При інших перерізах можна отримати гіперболи та параболи, причому вітки парабол можуть бути напрямлені у різні сторони.
Параболоїд зображено на рисунку 5.
