1.7. Характеристики графів

Йдеться про числові характеристики графів.

Цикломатичне число графа G, який має n вершин, m ребер, r ділянок зв'язності, можна вирахувати за формулою (1.1)

v(G)= m – n + r. (1.1)

Число v є кількістю незалежних циклів на графі. Залежний цикл це той, що побудований тільки з ребер, які належать іншим циклам. В іншому випадку цикл є незалежним.

Хроматичне число графа G. Йдеться про таке “розфарбовування” вершин графа, коли суміжні вершини мали б різні кольори. Найменша кількість кольорів р має назву – хроматичне число графа, а граф є р-хроматичним, а також має позначення (G), тобто (G) = р. Якщо (G) =2, то граф є біхроматичним.

Існує множина евристичних процедур розфарбовування графів. Одним з методів є послідовний метод, оснований на впорядковуванні множини вершин. Спочатку вершини розташовуються в порядку незростання їх величин. Перша вершина зафарбовується в колір 1; потім список вершин проглядається зверху вниз (за незростанням степенів) і в колір 1 зафарбовується всяка вершина, яка не суміжна з іншою, вже пофарбованою в цей колір. Потім повертаємося до першої в списку нефарбованої вершини, зафарбовуємо її в колір 2 і знову проглядаємо список вершин зверху вниз, зафарбовуючи в колір 2 будь-яку нефарбовану вершину, яка не сполучена ребром з іншою, вже зафарбованою в колір 2 вершиною. Аналогічно діємо з фарбами 3, 4 і так далі, поки не будуть пофарбовані всі вершини. Число використаних фарб буде тоді наближеним значенням хроматичного числа графа.

Приклад 10. Розфарбувати граф G (рис. 1.10).

Алгоритм рішення.

Крок 1: вершини розташовуються в порядку зменшення їх степенів.
Крок 2: нефарбована вершина з найменшим номером зафарбовується в колір 1, потім вершини розташовуються в порядку зростання номерів. Для графа G нефарбована вершина з найменшим номером – вершина 1. Розфарбовуємо цю вершину в колір номер 1 (КР1).
К рок 3: вершини 2, 3, 4, 5, суміжні з однією із зафарбованих в колір 1, не можуть бути розфарбовані в цей колір. Вибираємо нефарбовану вершину з найменшим номером. Це вершина 2. Розфарбовуємо цю вершину в колір номер 2 (КР2).
Крок 4: оскільки 3 і 4 вершини суміжні з вершиною із меншим номером, що має колір номер 2, вони не можуть бути розфарбовані цим кольором. Вершина 5 не суміжна ні з однією вершиною із меншим номером, що має колір номер 2. Розфарбовуємо цю вершину в колір номер 2 (КР2).
Крок 5: вибираємо наступну нефарбовану вершину з найменшим номером. Це вершина 3. Розфарбовуємо цю вершину в колір номер 3 (КР3).
Крок 6: оскільки 4 вершина не суміжна ні з однією вершиною із меншим номером, що має колір номер 3, розфарбовуємо її в колір номер 3 (КР3).