1.6. Зв'язність і роздільність

Визначення. Дві вершини графа називають зв'язаними, якщо існує маршрут, що сполучає ці вершини. Граф, будь-яка пара вершин якого зв'язана, називають зв'язним графом.

У зв'язному графі між будь-якими двома вершинами існує простий ланцюг, оскільки з маршруту, що зв'язує їх, завжди можна видалити циклічну ділянку, що проходить через деяку вершину більше одного разу.

Якщо граф незв'язний, то множину його вершин можна єдиним чином розділити на непересічні підмножини, кожна з яких містить всі зв'язані між собою вершини і разом з інцидентними ним ребрами утворює зв'язний підграф. Таким чином, не зв'язний граф є сукупністю окремих частин (підграфів), які називають компонентами.

Ч асто відношення зв'язності ускладнюється додатковими умовами. Граф називають циклічно зв'язним, якщо будь-які дві різні вершини містяться в циклі. Граф називають k-зв'язним, якщо будь-яка пара різних вершин зв'язана, принаймні k ланцюгами, які не мають загальних вершин (крім початкової і кінцевої).

Зв'язність орієнтованих графів визначається так само, як і для неорієнтованих (без урахування напрямів дуг). Специфічним для орграфа (або змішаного графа) є поняття сильної зв'язності. Орграф називають сильно зв'язним, якщо для будь-якої пари його вершин v_i, v_j існує шлях з v_i в v_j та з v_j в v_i.

Приклад 8. На рис. 1.3, б показаний зв'язний граф. Граф F на рис. 1.7 – незв'язний. Він складається з трьох компонент F₁, F₂, F₃ (ізольована вершина також вважається компонентою). Компонента F₁ графа F циклічно зв'язна (однозв'язна), а зв'язана компонента F₃ не є циклічно зв'язаною, оскільки вершини f₇ і f₈ не містяться ні в якому циклі з іншими вершинами.

Орграф G на рис. 1.6 – сильно зв'язний. Також сильно зв'язним завжди повинен бути граф, що представляє план міста з одностороннім рухом деякими вулицями, оскільки інакше знайшлися б вершини (площі і перехрестя), між якими не можна було б проїхати містом без порушення правил руху.

Зв'язний граф може бути розділений на не зв'язні підграфи видаленням з нього деяких вершин і ребер (при видаленні вершин виключаються і всі інцидентні ним ребра, а при видаленні ребер вершини зберігаються).

Визначення. Якщо існує така вершина, видалення якої перетворює зв'язний граф (або компоненту незв'язного графа) у незв'язний, то вона називається точкою зчленування. Ребро з такими ж властивостями називається мостом.

Зрозуміло, що за наявності моста в графі є, принаймні, дві точки зчленування.

Граф називається нероздільним, якщо він зв'язний і не має точок зчленування. Граф, що має хоч би одну точку зчленування, є роздільним і називається сепарабельним. Він розбивається на блоки, кожен з яких є максимальним нероздільним підграфом. Кожне ребро графа, як і кожна вершина (за винятком точок зчленування), належать тільки одному з його блоків. Більш того, тільки одному блоку належить і кожен простий цикл. Звідси випливає, що сукупністю блоків графа є розбиття множини ребер і простих циклів на неперетинні підмножини.

П риклад 9. Граф G на рис. 1.6 неподільний. Зв'язний граф, представлений на рис. 1.8, має дві точки зчленування – v₁ і v₄, проте його ребро (v₁, v₄) не є міст. Граф В на рис. 1.9 має дві точки зчленування – v₄ і v₅, причому ребро (v₄, v₅), що з'єднує ці точки, є мостом, який розбиває даний граф на три блоки (блоки В₁, В₂ і В₃ на рис. 1.9). Кожен з цих блоків є нероздільним підграфом.

У ряді застосувань теорії графів блоки можна розглядати як компоненти. Це звичайно допустимо, коли зв'язки блоків за допомогою точки зчленування неістотні або коли істотні властивості графа пов'язані тільки з його простими циклами (контурами). У таких випадках можна розглядати незв'язний граф як зв'язний роздільний граф, який утворюється шляхом такого об'єднання компонент, щоб кожна з них була блоком (це завжди можна зробити, об'єднавши, наприклад, по одній вершині кожного блока в точку зчленування).