12.6. Приклади побудови спадного розпізнавача

Приклад 1. Побудувати спадний розпізнавач для оператора присвоювання арифметичного виразу. Арифметичний вираз містить: ідентифікатор і, :=, (, ), ;. Кількість вкладених дужок не обмежена.

Приклади ланцюжків оператора присвоювання:

i := і+(і+і)+(і+і);

i :=і+і;

i :=і+(і+(і+і)).

1. Будуємо правила граматики. Праву частину оператора присвоювання позначимо нетермінальним символом А. Перше правило матиме вигляд: I  i := A;. Нетермінальний символ А є списком з роздільником. Елементом списку є ідентифікатор і, а роздільником є знак «+». Окрім того, список А може бути розміщеним у дужках. Нетермінальний символ С використовуємо для рекурсії.

Таким чином, маємо:

I  i := A; (1)

A  iC (2)

C  +A (3)

A  (А)C (4)

C  $. (5)

2. Визначаємо, чи містить наша граматика непродуктивні символи, а саме знайдемо правило, в правій частині якого розташовано термінальний символ або символ $. {C} – продуктивний символ. Знайдемо правила, в правій частині котрих містяться символи, що вже занесені в список. Якщо такі правила існують, то додаємо в список нетермінальні символи, які розміщені в лівій частині правила:

{C A}

{C A}

{C A I}

Таким чином, у список потрапили всі нетермінальні символи, отже непродуктивних символів немає.

3. Шукаємо недосяжні символи.

Заносимо в список початковий символ граматики {I}.

Шукаємо правило, ліва частина якого вже занесена в список. Додаємо нетермінальні символи правої частини:

{I A}

{I A C}

У список потрапили всі нетермінальні символи, отже, недосяжних символів немає.

4. Дана граматика містить правила, що анулюють, та правила, права частина котрих починається з нетермінального символу, отже, вона не може бути розділеною та слаборозділеною граматикою. Визначимо належність даної граматики до LL(1)-граматики.

Аналізуючи складені нами правила, дійдемо висновку, що ліво-рекурсивних правил немає.

5. Побудуємо функцію ПЕРШ:

ПЕРШ (I  і:= A;) = {і}

ПЕРШ (A  iC) = {і}

ПЕРШ (C  +A) = {+}

ПЕРШ (A  (А)C) = {(}

ПЕРШ (C  $) = {$}.

6. Побудуємо функцію СЛІД:

Згідно з першим правилом СЛІД(А) ={;}. Згідно з чевертим правилом СЛІД(А) ={)}. Згідно з другим правилом СЛІД(С) = СЛІД (А). Згідно з третім правилом СЛІД(А) = СЛІД (С). Має місце зацикленість. Отже, СЛІД(А) = СЛІД (С) = {;}  {)} = {;, )}.

7. Побудуємо множину ВИБІР. Для всіх правил, крім правила, що анулює, множина ВИБІР дорівнює функції ПЕРШ. Для правила, що анулює, множина ВИБІР дорівнює функції СЛІД.

ВИБІР(I  і:= A;) = ПЕРШ (I  і:= A;) = {і}

ВИБІР(A  iC) = ПЕРШ (A  iC) = {і}

ВИБІР(C  +A) = ПЕРШ (C  +A) ={+}

ВИБІР(A  (А)C) = ПЕРШ (A  (А)C) = {(}

ВИБІР(C  $) = СЛІД(C)  {$} = СЛІД(A)  {$} = {;, )}

Дана граматика є LL(1)-граматикою, тому що для правил, які починаються з однакових нетермінальних символів, множина ВИБІР не містить однакових термінальних символів.

8. Будуємо команди магазинного автомата (розпізнавача):

1)   f(s, i, I) = (s, ;A:=) 7)    f(s, ;, ;) = (s, $)

2)    f(s, i, A) = (s, C) 8)    f(s, ), )) = (s, $)

3)   f(s, +, C) = (s, A) 9)   f(s, :=, :=) = (s, $)

4)   f(s, (, A) = (s, C)А) 10)  f(s, $, h₀) = (s, $)

5)   f*( s, ;, C) = (s, $)

6)   f*( s, ), C) = (s, $)

Кількість команд для кожного правила визначається числом елементів множини ВИБІР. Оскільки п’яте правило є правилом, що анулює, то команди магазинного автомата 5 – 6 виконуються без зрушення вхідної головки. Команди 8 – 9 будуються для термінальних символів « ; », « ) » та « := », які розташовані в середині та в кінці правил. Команда 10 використовується для переходу в заключний стан.

9. Розпізнаємо ланцюжок i:=i+(i+i); відповідно до побудованих правил:

(s, i:=i+(i+i);$, h₀I) ├ 1

(s, :=i+(i+i);$, h₀;A:=) ├ 10

(s, i+(i+i);$, h₀;A) ├ 2

(s, +(i+i);$, h₀;C) ├ 3

(s, (i+i);$, h₀;A) ├ 4

(s, i+i);$, h₀;C)A) ├ 2

(s, +i);$, h₀;C)С) ├ 3

(s, i);$, h₀;C)A) ├ 2

(s, );$, h₀;С)C) ├ 6

(s, );$, h₀;C)) ├ 9

(s, ;$, h₀;C) ├ 5

(s, ;$, h₀;) ├ 8

(s, $, h₀) ├ 11

(s, $, $)

Ланцюжок розпізнано.

Приклад 2. Побудувати спадний розпізнавач для оператора виведення write або writeln. Оператор може містити в дужках список ідентифікаторів і та коментарів ‘t‘.

Приклади ланцюжків:

write(‘t’,і);

writeln(‘t’,і, і);

write(і, і).

1. Будуємо правила граматики. Нетермінальним символом А позначимо частину ланцюжка, яка знаходиться після термінальних символів write або writeln. Нетермінальним символом В позначимо список операторів і та коментарів ‘t‘ з роздільником «,». Нетермінальний символ С використаємо для рекурсії.

I  write A; (1)

I  writeln A; (2)

A  (B) (3)

A  $ (4)

B  ’t’C (5)

B  iC (6)

C  , B (7)

C  $ (8)

2. Дана граматика не містить марних символів та ліворекурсивних правил.

3. Дана граматика містить правила, що анулюють, та правила, права частина яких починається з нетермінального символу, отже, вона не може бути розділеною та слаборозділеною граматикою. Визначимо належність даної граматики до LL(1)-граматики.

ВИБІР(I  write A;) = ПЕРШ(I  write A;) = {write}

ВИБІР(I  writelnA;) = ПЕРШ(I  writelnA;) = {writeln}

ВИБІР(A  (B)) = ПЕРШ (A  (B)) = {(}

ВИБІР(A  $) = СЛІД(А) = {$,;}

ВИБІР(B  ’t’C) = ПЕРШ (B  ’t’C) = {‘}

ВИБІР(B  iC) = ПЕРШ(B  iC) = {i}

ВИБІР(C  , B) = ПЕРШ(C  , B) = {,}

ВИБІР(C  $) = СЛІД(С) = СЛІД(В) = {),$}

Дана граматика є LL(1)-граматикою, тому що множина ВИБІР для правил, які починаються з однакових лівих нетермінальних символів, не містить однакових термінальних символів.

4. Будуємо команди розпізнавача:

1)    f (s, write, I) = (s, h₀;A)

2)    f (s, writeln, I) = (s, h₀;A)

3)    f (s, (, A) = (s, h₀)B)

4)    f ^*(s, ; , A) = (s, $)

5)    f ^*(s, $, A) = (s, $)

6)    f (s, ‘, B) = (s, C’t)

7)    f (s, i, B) = (s, C)

8)    f (s, , , C) = (s, B)

9)     f *(s, ),C) = (s, $)

10)    f *(s, $, C) = (s, $)

11)    f (s, ; , ;) = (s, $)

12)    f (s, ) , )) = (s, $)

13)    f (s, ’, ‘) = (s, $)

14)    f (s, t, t) = (s, $)

15)    f (s, $, h₀) = ($, $)

5. Розпізнаємо заданий ланцюжок:

(s, writeln(‘t’,і, і);$ h0I) ├1

(s, (‘t’,і,і);$ h0;A) ├3

(s, ‘t’,і,і); $ h0;)B) ├6

(s, t’,і,і);$ h0;)C’t) ├14

(s, ’,і,і);$ h0;)C’) ├13

(s, ,і,і);$ h0;)C) ├8

(s, і,і);$ h0;)B) ├7

(s, ,і);$ h0;)C) ├8

(s, і);$, h0;)B) ├7

(s, );$, h0;)C) ├9

(s, );$, h0;) ) ├12

(s, ; $, h0;) ├11

(s, $, h0) ├15

($, $, $)

Ланцюжок розпізнано.

Контрольні запитання

1. Як працює спадний розпізнавач?

2. Яка граматика називається розділеною або простою?

3. Які типи команд розпізнавача можуть бути зіставлені з кожним правилом граматики?

4. Яка граматика називається слаборозділеною?

5. Як будується функція ПЕРШ(µ)?

6. Як будується функція СЛІД(µ)?

7. Як будується множина ВИБІР(B µ)?

8. Які граматики називаються LL(K)–граматиками?

9. Як будуються команди розпізнавача для LL(K)–граматик?

10. Побудувати спадний розпізнавач для фрагмента програми, яка описує список змінних цілого і символьного типів.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. О.Е. Акимов. Дискретная математика: логика, группы, графы/ О.Е. Акимов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

2. О.П. Кузнєцов. Дискретная математика для инженера/ О.П Кузнєцов., Д.М. Адельсон-Вельский. – 2-е изд. – М: Энергоатомиздат, 1988. – 488 с.

3. Ю.М. Коршунов Математические основы кибернетики/ Ю.М. Коршунов: учебное пособ. для втузов. М.: Энергия,1980. 376с.

4. Ф.А. Новиков Дискретная математика для программистов/ Ф.А. Новиков: учебник. – СПб: Питер, 2000. – 304 с.

5. Е.П.Липатов. Теория графов и ее применения/ Е.П Липатов. – М.: Знание, 1986. – 32 с.

6. И.Б. Сироджа. Комбинаторные задачи оптимизации на графах: Учебное пособ. по курсу "Спецглавы математики". – Харьков: ХАИ, 1991. – 84 с.

7. В.А. Евстигнеев. Применение теории графов в программировании/ В. А. Евстигнеев. – М.: Наука, 1985. – 200 с.

8. В.Н. Нефедов. Курс дискретной математики/ В.Н Нефедов, В.А. Осипова. – М.: Наука, 1992.

9. Л.М. Лихтарникова. Математическая логика: Курс лекций. Задачник-практикум и решения/ Л.М. Лихтарникова, Т.Г. Сукачева. – СПб, 1988.

10. С.Г. Гиндикин. Алгебра логики в задачах/ С.Г. Гиндикин. – М., 1972.

11. Н. Кристофидес. Теория графов. Алгоритмический поход/ Н. Кристофидес. – М.: Мир, 1978.

12. Р.Уилсон. Введение в теорию графов/ Р.Уилсон. – М.: Мир, 1977.

13. Д. Кук . Компьютерная математика/ Д. Кук, Г. Бейз. – М.: Наука, 1990.

14. Лекции по теории графов/ Емеличев В.А. и др. – М.: Наука, 1990.

15. О. Оре. Теория графов/ О.Оре. – М.: Наука, 1980.

16. С.П. Гаврилов Сборник задач по дискретной математике/ С.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко. – М.: Наука, 1978.

17. Лавров И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов./ И.А. Лавров, Л.Л Максимов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

18. В.И. Игошин. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов/ В.И. Игошин. – М.: Издательский центр "Академия", 2007.

19. Карпов Ю.Г. Теория автоматов/ Ю.Г. Карпов. – СПб.: Питер, 2002.

20. Гавриленко С.Ю. Основи побудови компіляторів: навч. посіб./ С.Ю. Гавриленко, М.І.Главчев, А.М. Філоненко. – Харків: Курсор, 2005. – 107 с

21. Системне програмування. Системні сервісні компоненти /Дерев’янко О.С., Межерицький С.Г., Гавриленко С.Ю., Клименко А.Н. – Харків: НТУ "ХПІ", 2009. – 160 с.

22. И.А. Волкова. Формальные языки и грамматики. Элементы теории трансляции/ И.А. Волкова, Т.В. Руденко. – М.:МГУ, 1999. – 62 с.

23. А.В. Бржезовский Лексический и синтаксический анализ. Формальные языки и грамматики. – Л.: ЛИАП, 1990. – 62 с.

24. Альфред Ахо. Компиляторы. Принципы, технологии, инструменты/ Альфред Ахо, Равви Сети, Джеффри Ульман.– М., СПБ., К., 2001. – 768 с.

ЗМІСТ

ВСТУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1. ГРАФИ. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ . . . . . . . . . . . . .5 1.1. Визначення графа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Типи скінченних графів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Суміжність та інцидентність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Способи задання графів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.5. Маршрути і підграфи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.6. Зв'язність і роздільність. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.7. Характеристики графів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Дерева і ліс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9. Приклади задач, які використовують зважені графи . . . . . . . . . . . . . .19

2. ЛОГІКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1. Логіка висловів. Загальні поняття . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

2.2. Формули алгебри висловів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. Розв'язання «логічних» задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4. Застосування алгебри логіки в теорії автоматів. Схеми перемикачів 40

2.5. Логіка першого порядку (логіка предикатів). Загальні поняття . . . . 42

2.6. Інтерпретація формул логіки предикатів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7. Передуюча нормальна форма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.8. Логіка реляційна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.9. Нечітка логіка. Загальні поняття. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2.10. Нечітка алгебра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

2.11. Нечітке числення. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

3. БУЛЕВІ ФУНКЦІЇ. ОСНОВНІ ЗАКОНИ АЛГЕБРИ ЛОГІКИ. . . .58

3.1. Цифрові автомати в схемотехніці та програмуванні. . . . . . . . . . . . . . 58

3.2. Висловлювання, предикати, булеві функції. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3. Схемні реалізації булевих функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

3.4. Найбільш поширені булеві функції. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5. Основні закони алгебри логіки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65