10.2. Приклади, що ілюструють первинні поняття

Розглянемо кілька прикладів, що ілюструють уведені поняття.

1. Задана граматика Г_10.0 і потрібно визначити мову, яка породжується цією граматикою:

Г_10.0: V_т = {a, b, c}, V_a = {I}, R = {I  bac}.

Схема граматики містить одне правило, тому Г_10.0 породжує мову з одного слова

L(Г_10.0) = {bac}.

2. Задана граматика Г_10.1. Потрібно визначити мову, яка породжується цією граматикою:

Г_10.1: V_т = {a, b, c, d}, V_a = {I, B, C},

R = {I  aB

B  Cd

B  dc

С  b

C  $}.

Побудуємо всі виведення в цій граматиці:

I  aB  aCd  abd,

I  aB  aCd  ad,

I  aB  adc.

Отже, мова L(Г_10.1) = {abd, ad, adc}.

3. Задана граматика Г_10.2. Потрібно визначити мову, яка породжується цією граматикою:

Г_10.2: V_т = {0, 1}, V_a = {I, A},

R = { I  0A1

0A  00A1

A  $}.

Розглянемо кілька виведень за допомогою правил граматики Г_10.2. Застосовуючи перше і третє правила, одержуємо

I  0A1  01.

Застосовуючи два рази перше правило і третє, маємо

I  0A1  00A11  0011.

У загальному випадку, застосовуючи k разів перше правило, одержимо в результаті ланцюжок, що містить k нулів і k одиниць.

Отже, мова, яка породжується граматикою Г_10.2, містить різні ланцюжки, в яких число нулів дорівнює числу одиниць.

4. Задана граматика Г_10.3. Потрібно визначити мову, яка породжується цією граматикою.

Г_10.3: V_т = {a, b}, V_a = {I, A},

R = {I  aA

A  аA}.

Спроба побудови виведення результату в цій граматиці приводить нас до ланцюжка:

I  aA  aаA  aааA  ... ,

який виявляється нескінченним. Іншими словами, граматика Г_10.3 породжує порожню мову.

10.3. Порожня мова

Визначення. Якщо мова, породжувана граматикою Г, не містить жодного кінцевого ланцюжка (кінцевого слова), то вона називається порожньою.

Твердження. Для того щоб мова L(Г) не була порожньою, у множині R повинне бути хоча б одне правило вигляду R = {    }, де  V_т і повинно існувати виведення I * .

10.4. Типи формальних мов і граматик

У теорії формальних мов виділяють 4 типи граматик, яким відповідають 4 типи мов. Такий розподіл називається «граматична структура Хомського». Ці граматики виділяються шляхом накладення обмежень на правила граматики.

10.4.1. Граматики типу 0. Граматики типу 0, що називаються граматиками загального вигляду, не мають ніяких обмежень на правила породження. Будь-яке правило

R = {   }

може бути побудоване з використанням довільних ланцюжків   (V_т  V_a). Наприклад, RLW  FWT x Ab  xrtHVD.

10.4.2. Граматики типу 1. Граматики типу 1, що називаються також контекстно-залежними граматиками, не допускають використання будь-яких правил. Правила виведення в таких граматиках повинні мати вигляд:

₁A₂ ₁₂,

де ₁,₂ – ланцюжки, можливо порожні, з множини (V_т  V_a), символ А V_a і ланцюжок  (V_т  V_a). Ланцюжки ₁ і ₂ залишаються незмінними при застосуванні правила, тому їх називають контекстом (відповідно лівим і правим), а граматику – контекстно залежною.

Граматики типу 1 значно зручніші на практиці, ніж граматики типу 0, оскільки в лівій частині правила замінюється завжди один нетермінальний символ, який можна зв'язати з деяким синтаксичним поняттям, у той час як у граматиці типу 0 можна заміняти відразу кілька символів, у тому числі й термінальних.

Наприклад, граматика Г_10.4: V_т = {a, b, c, d}, V_a = {I, A, B},

R = { I  aAI (1)

AI  AAI (2)

AA  ABA (3)

A  b (4)

bBA  bcdA (5)

bI  ba} (6)

є контекстно залежною, оскільки друге і шосте правила мають непорожній лівий контекст, а третє і п'яте правила містять обидва контексти. Виведення у такій граматиці може мати вигляд:

I  aAI  aAAI  abAI  abbI  abba.

10.4.3. Граматики типу 2. Граматики типу 2 називають контекстно вільними (КВ) граматиками, або безконтекстними граматиками.

Правила виведення таких граматик мають вигляд:

A ,

де A V_a і (V_т  V_a).

Очевидно, що ці правила випливають із правил граматики типу 1 за умови, що ₁ = ₂ = $. Оскільки контекстні умови відсутні, то правила КВ-граматик виходять простіші, ніж правила граматик типу 1. Саме такі граматики використовують для опису мов програмування. Прикладом КВ-граматики може служити така граматика.

Г_10.5: V_т = {a, b}, V_a = {I},

R = {I aIa (1)

I bIb (2)

I aа (3)

I bb}. (4)

Ця граматика породжує мову, що складається з ланцюжків, кожний з яких у свою чергу складається з двох частин: ланцюжка V_т і дзеркального відображення цього ланцюжка '.

За допомогою правил цієї граматики може бути побудований, наприклад, ланцюжок:

I aIa abIba abaIaba ababbaba.

10.4.4. Граматики типу 3. Граматики типу 3 називають автоматними граматиками (А-граматиками). Правила виведення в таких граматиках мають вигляд:

Aa, або AaB, або ABa,

де a V_т, і A, BV_a, причому граматика може мати тільки правила вигляду A aB – правосторонні правила, або тільки вигляду A Ba – лівосторонні правила. Прикладами автоматних граматик можуть бути правостороння граматика Г_10.6 і лівостороння граматика Г_10.7.

Г_10.6: V_т = {a, b}, V_a = {I, A, Z},

R = {I  aI (1)

I aA (2)

A bA (3)

A aZ (4)

A bZ (5)

Z $}. (6)

Г_10.7: V_т = {a, b}, V_a = {I, A, Z},

R = {I Ab (1)

A Ab (2)

A Za (3)

Z Za (4)

Z $}. (5)

Ці граматики є еквівалентними і породжують мову

L(Г₇) = {a...ab...b | n, m 0}.

Між множинами мов різних типів існує відношення включення:

{L _{типу 3}}  {L _{типу 2}}  {L _{типу 1}}  {L _{типу 0}}.

Доведено, що існують: мови типу 0, які не є мовами типу 1; мови типу 2, які не є мовами типу 1; мови типу 3, які не є мовами типу 2.

З огляду на те, що найбільш практично застосовуються граматики типу 2 і типу 3, подальший виклад присвячується розгляду саме цих типів граматик.