6. Абстрактні цифрові автомати

6.1. Основні поняття, пов’язані з абстрактними автоматами

Цифровий (дискретний) автомат – пристрій, який здійснює прийом, зберігання та перетворення дискретної інформації за деяким алгоритмом. В якомусь розумінні до автоматів можна віднести як реальні пристрої (обчислювальні машини, живі організми і т. ін.), так і абстрактні системи (математичні машини, аксіоматичні теорії та ін.).

Загальну теорію автоматів підрозділяють на абстрактну і структурну. Відмінність між ними полягає в тому, що абстрактна теорія, відсторонюючись від структури автомата (тобто не цікавлячись способом його побудови), вивчає лише поведінку автомата відносно зовнішнього середовища. Абстрактна теорія автоматів близька, таким чином, до теорії алгоритмів, будучи, по суті, її подальшою деталізацією. В протилежність абстрактній теорії структурна теорія цікавиться як структурою самого автомата, так і структурою вхідних дій і реакцією автомата на них. У структурній теорії вивчаються способи побудови автоматів, способи копіювання вхідних дій і реакцій автомата. Таким чином, структурна теорія автоматів являється продовженням і подальшим розвитком абстрактної теорії. Спираючись на апарат булевих функцій і на абстрактну теорію автоматів, структурна теорія дає ефективні рекомендації щодо розробки реальних пристроїв обчислювальної техніки.

Абстрактний кінцевий автомат описується трьома скінченними множинами і двома функціями: A = {X, Y, S , δ, λ},

де X – множина вхідних сигналів або вхідний алфавіт,

Y – множина вихідних сигналів або вихідний алфавіт,

S – множина станів або алфавіт станів,

δ – функція переходів, s(t + 1) = δ(s(t), x(t)),

λ – функція виходів, y(t) = λ(s(t), x(t)).

Функція переходів δ автомата A задає відображення (X  S)  S. Функція виходів  автомата A задає або відображення (X  S)  Y, або відображення

S  Y.

Функція переходів δ показує, що автомат А, знаходячись у деякому стані s_i  S, під час появи вхідного сигналу x_j  X переходить в деякий стан s_p  S. Це записується виразом s_p = δ(s_i, x_j). Функція виходів , яка задає відображення

(X  S)  Y, показує, що автомат A, знаходячись в деякому стані s_i  S, під час появи вхідного сигналу x_j  X, виробляє вихідний сигнал y_k  Y. Це записується виразом y_k = (s_i, x_j).

Абстрактний цифровий автомат називається ініціальним, якщо на множині його станів S виділяється спеціальний початковий стан s_о  S, тобто ініціальний абстрактний автомат описується сукупністю шести об’єктів

{X, Y, S, δ, , s_o}. Виділення на множині S початкового стану s_o пояснюється чисто практичними міркуваннями, пов’язаними з виникаючою часто необхідністю фіксувати умови початку роботи автомата.

За способом формування функції виходів виділяють два типи абстрактних автоматів, а саме автомат Мілі та автомат Мура. В автоматі Мілі функція виходів  задає відображення (X  S)  Y. В автоматі Мура функція виходів  задає відображення S  Y. Довільний абстрактний автомат Мілі або Мура має один вхідний і один вихідний канали.

Виділяють повністю визначені та частково визначені автомати. Повністю визначеним називається абстрактний цифровий автомат, у якого функції переходів і виходів визначені для всіх пар (x_j, s_k).

Частково визначеним називається абстрактний цифровий автомат, у якого функція переходів, або функція виходів, або обидві ці функції визначені не для всіх пар (x_j, s_k).

Вважається, що абстрактний автомат функціонує в дискретному автоматному часі t = 0, 1, 2, ..., а переходи із стану в стан відбуваються миттєво. В кожний момент t дискретного часу автомат знаходиться в деякому стані s(t) із множини станів S.

Якщо автомат ініціальний, то в початковий момент часу t, який дорівнює нулю, він завжди знаходиться в початковому стані s(t) = s(0) = s_o. В момент часу t, знаходячись в стані s(t), автомат здатний сприйняти на вході букву вхідного алфавіту х(t)  X. У відповідності до функції виходів  він видасть у той же момент часу t букву вихідного алфавіту у(t), а у відповідності до функції переходів δ перейде в наступний стан s(t + 1). Згідно з визначенням абстрактного автомата, автомат Мілі в цьому випадку характеризується системою рівнянь (6.1):

y(t) = [s(t), x(t)],

s(t + 1) = δ [s(t), x(t)], (6.1)

а автомат Мура – системою рівнянь (6.2):

y(t) = [s(t)],

s(t + 1) = δ [s(t), x(t)]. (6.2)

Якщо на вхід ініціального абстрактного автомата Мілі або Мура, встановленого в початковий стан s_o, подавати буква за буквою деяку послідовність букв вхідного алфавіту х₀, х₁, ..., х_n – вхідне слово, то на виході автомата будуть послідовно з’являтись букви вихідного алфавіту у₀, y₁, ..., y_n  – вихідне слово. Таким чином, на рівні абстрактної теорії функціонування цифрового автомата є перетворенням вхідних слів у вихідні слова.

Поняття стану у визначенні абстрактного автомата введене у зв’язку з тим, що більшість реальних процесів, якими управляють реально побудовані цифрові автомати, вимагають для свого правильного функціонування попереднього розвитку процесу в часі. Вихідний сигнал, який видає автомат у даний момент часу, визначається не тільки вхідною дією на автомат, але і станом, в якому автомат в цей момент часу знаходився. Наприклад, під час побудови автомата з оплати послуг мобільного зв‘язку треба мати інформацію як про номер абонента, так і про суму внесеної оплати. Ця інформація забезпечується наявністю різних станів у абстрактного автомата. Абстрактні цифрові автомати, які відповідають уведеному визначенню абстрактного автомата, називають також абстрактними автоматами з пам’яттю, оскільки існування в автоматі множини різних його станів можливе тільки за наявності пам’яті в автомата.

Ряд процесів, якими управляють реальні автомати, не потребують для свого правильного функціонування знання попереднього розвитку процесу в часі. В автоматах, які управляють такими процесами, вихідний сигнал визначається тільки вхідною дією на автомат. Такі автомати називаються абстрактними автоматами з тривіальною пам’яттю або комбінаційними автоматами. Найпростішим комбінаційним автоматом можна вважати схемну реалізацію будь-якої булевої функції.