5.4. Мінімальна Шефферівська нормальна форма

Операція штрих Шеффера або операція І-НІ являється функціонально-повним базисом. Тому за допомогою операції штрих Шеффера може бути подана будь-яка булева функція.

Для отримання мінімальної Шефферівської нормальної форми (МШНФ) необхідно виконати такі дії:

• заносимо одиничні значення функції в карту Карно;

• створюємо ПК за одиничними значеннями. Одиниці, які ввійшли на попередніх кроках в одну із кон’юнкцій, вважаємо покритими. Із непокритих і покритих одиниць створюємо наступну ПК, покриваючи максимальну кількість непокритих одиниць. Процес завершується, коли покриті всі одиниці;

• описуємо всі ПК за допомогою таблиці;

• змінні, від яких залежить ПК об’єднуємо за допомогою операції штрих Шеффера. Якщо змінна для даної ПК приймає одиничне значення, то вона береться в прямому вигляді, а інакше – в інверсному:

Виняткові ситуації:

• якщо ПК має максимальний ранг (тобто описується тільки однією змінною), то змінна, яка описує ПК, береться в інверсному вигляді;

• якщо має місце тільки одна ПК, то береться загальна інверсія над усіма змінними, які описують цю ПК.

Об’єднуємо за допомогою операції штрих Шеффера всі описані ПК:

і отримуємо мінімальну Шефферівську нормальну форму.

Приклад 5. Задана функція f₅ (x₁, x₂, x₃, х₄) = ( 0, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15)¹. Побудувати МШНФ.

Заносимо одиничні значення функції f₅ в карту Карно.

Об’єднуємо клітинки 0, 4 , 8 і 12 в ПК₁² , а клітинки 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 і 15 в ПК₂³

ПК₁²

х₁

x2	1 12	1 14	1 6	1 4
	1 13	1 15	1 7	1 5	х4
	9	11	3	1
	1 8	10	2	1 0

ПК₂³ х₃

Правильні конфігурації описуємо за допомогою табл. 5.11.

Таблиця 5.11 – Опис значень змінних для правильних конфігурацій за одиничними значеннями функції f₅

Правильні конфігурації	Значення змінних
	х1	х2	х3	х4
ПК12	–	–	0	0
ПК23	–	1	–	–

ПК₁² описується як – . Для ПК₂³ має місце виняткова ситуація. Тому ПК₂³ описується як . Об’єднавши за допомогою операції штрих Шеффера отримані описи ПК, отримаємо МШНФ:

f_5мшнф =( ) / .