1.2. Типи скінченних графів

Визначення. Якщо множина вершин графа скінченна, то він називається скінченним графом. Скінченний граф G = (V, Е), що містить рівно р вершин і q ребер, називається (р, q) - графом.

Нехай V = V = {v₁, v₂, ... v_p і Е = {е₁, е₂, ...е_q} – відповідно, множина вершин і ребер (р, q)-графа. Кожне ребро e_k  E з'єднує пару вершин v_i, v_j  V, що є його кінцями (граничними вершинами). Для орієнтованого ребра (дуги) розрізняють початкову вершину, з якої дуга виходить, і кінцеву вершину, в яку дуга заходить.

Ребро, граничними вершинами якого є одна і та ж вершина, називається петлею.

Ребра з однаковими граничними вершинами є паралельними і називаються кратними.

У загальному випадку граф може містити й ізольовані вершини, які не є кінцями ребер і не сполучені ні між собою, ні з іншими вершинами.

Кількість ребер, пов'язаних з вершиною v_i, (петля враховується двічі), називають степенем вершини і позначають через  (v_i).

Степінь ізольованої вершини дорівнює нулю. Вершина степеня одиниці називається кінцевою або висячою вершиною.

Легко показати, що в будь-якому графі сума степенів всіх вершин дорівнює подвоєному числу ребер, а число вершин непарного степеня завжди парне.

В орграфі розрізняють додатні  ⁺(v_i) і від'ємні  ^–(v_i) степені вершин, які дорівнюють відповідно числу витікаючих з v_i і таких, що заходять в v_i дуг. Отже, суми додатних і від'ємних ступенів всіх вершин орграфа рівні між собою і дорівнюють числу всіх дуг.

Приклад. Для скінченного (5, 6)-графа на рис.1.2, а множина вершин V = = {v₁, v₂, v₃, v₄, v₅; множина ребер E = e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆; ребра e₂ та e₃ паралельні; ребро e₆ є петлею; v₄ – ізольована вершина і її степінь дорівнює 0 ( (v₄) = 0); v₁ – висяча вершина і її степінь дорівнює 1 ( (v₁) = 1); решта вершин графа мають такі степені:  (v₂) = 4,  (v₃) = 3,  (v₅) = 4. Для вершини x₃ орграфа на рис. 1.1, а маємо додатний ( ⁺(x₃) = 2) і від'ємний ( ^– (x₃) = 3) степені.

В изначення. Простий або звичайний граф – це граф без петель і кратних ребер. Повний граф – це простий граф, в якому будь-які дві вершини сполучені ребром. Мультиграф – це граф, що не містить петель, але який має кратні ребра. Псевдограф – це граф, що допускає петлі і кратні ребра (найбільш загальний випадок графа). Порожній або нуль-граф – це граф, що не має ребер (Е = , всі його вершини ізольовані).

Якщо множина вершин V простого графа допускає таке розбиття на дві непересічні підмножини V₁ і V₂ (V₁  V₂ = ), що не мають ребер, які сполучають вершини однієї і тієї ж підмножини, то він називається дводольним або біграфом.

Орієнтований граф вважається простим, якщо він не має строго паралельних дуг і петель.

Граф, степені всіх вершин якого однакові і рівні r, називається однорідним (регулярним) r-го степеня. Повний граф з n вершинами завжди є однорідним графом степеня n – 1, а порожній граф – однорідний граф степеня 0. Граф третього степеня називають кубічним графом (рис. 1.3). Він володіє багатьма цікавими властивостями і, зокрема, завжди має парне число вершин.

Приклад 1. На рис. 1.2, а наведено псевдограф з петлею е₆ і кратними ребрами е₂ і е₃. Біграф з двома неперетинними підмножинами вершин V₁ і V₂, наведений на рис. 1.2, в, це простий граф. На рис. 1.2, б показаний повний граф степеня 4, а на рис. 1.3 – повний (орієнтований) кубічний граф. Орграф, показаний на рис. 1.1, а, не є простим.