3.5. Основні закони алгебри логіки

Під бінарною операцією на множині A в загальному випадку розуміють відображення декартового добутку множин (A  A) в множину А. Іншими словами, результат використання бінарної операції до будь-якої упорядкованої пари елементів з А є також елемент із множини А.

Під унарною операцією на множині А розуміють виділення (фіксацію) якогось елемента множини А.

У булевій алгебрі справедливі закони:

закон комутативності – ;

закон асоціативності – ;

закон дистрибутивності – ;

закон повторення – ;

закон універсальності меж – ;

закон інволютивності – ;

закон доповнення – ;

закон поглинання – ;

закон спрощення – ;

закон склеювання – ;

закон де Моргана – .

Використовуючи дані залежності, можна перетворити початкові вирази в більш прості, тобто мінімізувати їх. За спрощеними виразами можна побудувати технічний пристрій з мінімальними апаратурними витратами.

Приклад 1. Спростити вираз y = _.

Використовуючи закон склеювання, отримаємо

.

Приклад 2. Спростити вираз .

Використовуючи закон де Моргана, отримаємо

.

Використовуючи закон де Моргана, маємо

.

Використовуючи закон ідемпотентності до першої круглої дужки і закон де Моргана до другої круглої дужки, отримаємо

.

Послідовно застосовуючи закон поглинання та закон спрощення, а до виразів із запереченнями – закон де Моргана, отримаємо

.

Після перетворення маємо

.

І нарешті, використовуючи закон поглинання та закон спрощення, отримаємо

.

Контрольні запитання

1. Що означають терміни «цифровий автомат» і «скінченний автомат»?

2. Дайте пояснення терміна «висловлювання».

3. Яке висловлювання називається предикатом?

4. Які змінні та функції являються булевими?

5. Які булеві оператори використовуються в булевих виразах?

6. Охарактеризуйте різні способи подання булевих функцій.

7. Наведіть приклад схемного відтворення булевої функції.

8. Перелічіть найменування булевих функцій однієї і двох змінних.

9. Які основні закони алгебри логіки ви знаєте?

10. Продемонструйте використання законів алгебри логіки для

11. спрощення логічних виразів.

12. Виразити функції АБО, І та НІ через функції АБО-НІ.

13. Спростити вираз

.

14. Виразити функції АБО, І та НІ через функції І-НІ.

15. Побудуйте таблицю істинності для функції f₁(x₁, х₂, x₃) = ( 0,3,4,6,7)¹ .

16. Спростити вираз .

17. Спростити вираз .

4. Аналітичне подання булевих функцій. Функціонально повні системи булевих функцій

Розглянуті найпростіші булеві функції дозволяють будувати нові булеві функції за допомогою узагальненої операції, яка називається операцією суперпозиції. Фактично операція суперпозиції полягає в підстановці замість аргументів даної функції інших булевих функцій (зокрема інших аргументів). Наприклад, із функції f₁ (x₁, x₂) за допомогою підстановок x₁ = f₃ (x₅, x₄) і х₂ = x₃ замість аргументів х₁ і x₂ відповідно отримаємо функцію f₁ (f₃ (х₅, x₄), x₃). Остання від змінних x₁ і x₂ уже не залежить.

Операція суперпозиції дозволяє побачити якісний перехід від п, рівного одиниці, до п, рівного двом. Дійсно, суперпозиція функцій одного аргументу породжує функції також одного аргументу. Суперпозиція функцій двох аргументів дає можливість будувати функції будь-якої кількості аргументів (у наведеному прикладі побудована функція трьох аргументів).

Суперпозиція булевих функцій зображається у вигляді логічних формул. Однак необхідно відмітити:

• одна і та ж функція може бути представлена різними формулами;

• кожній формулі відповідає своя суперпозиція і, отже, своя схема з’єднання логічних елементів;

• між формулами подання булевих функцій і схемами, які їх реалізують, існує взаємно однозначна відповідність.

Будь-яка двійкова функція, за винятком функції тотожного нуля, може бути подана як суперпозиція трьох функцій І, АБО та НІ.