3.3. Схемні реалізації булевих функцій

Булеві функції використовуються під час синтезу пристроїв управління. Кожна булева функція з базису and, or, not має реалізацію у вигляді мікросхеми (рис. 3.1). Заперечення зображається колом на вході або на виході. Символ функції вписується в рамку елемента. Як символ операції or використовується символ «1», а операції and – символ «&».

and:

not:

or:

Рисунок 3.1 – Реалізація булевих функцій

Ці елементи об’єднуються в схему відповідно до аналітичного виразу для функції.

Наприклад, реалізується такою схемою (рис. 3.2).

x₁

x₃

x₄

x₂

Рисунок 3.2 – Реалізація функції f₃

3.4. Найбільш поширені булеві функції

Існує не більше ніж різних булевих функцій п змінних. До цього висновку легко дійти, користуючись простими комбінаторними міркуваннями і згадавши, що на кожному з 2ⁿ наборів функції можуть приймати два значення.

Розглянемо найбільш використовувані булеві функції однієї і двох змінних.

Функції однієї змінної подані в табл. 3.3, де:

f₀ (x) = 0 – тотожний нуль (константа 0);

f₁ (х) = х – тотожна функція x;

f₂ (х) = – заперечення х (інверсія x);

f₃ (х) = 1 – тотожна одиниця (константа 1).

Таблиця 3.3 – Функції однієї змінної

x	f0	f1	f2	f3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Функції двох змінних подані в табл. 3.4.

Таблиця 3.4 – Функції двох змінних

x1	x2	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Найбільш часто використовуються такі найменування цих функцій:

f₀ (x₁, x₂) = 0 – тотожний нуль (константа 0);

f₁ (x₁, x₂) = x₁ • x₂ – кон’юнкція (логічне І);

f₂ (x₁, x₂) =x₁ • ₂ = х₂ ← х₁– заперечення х₁;

f₃ (x₁, x₂) = x₁ – повторення х₁;

f₄ (x₁, x₂) = ₁ • x₂ = х₁ ← х₂ – заперечення х₂;

f₅ (x₁, x₂) = x₂ – повторення х₂;

f₆ (x₁, x₂) = – виключне АБО;

f₇ (x₁, x₂) = – диз’юнкція (логічне АБО);

f₈ (x₁, x₂) = – стрілка Пірса (заперечення кон’юнкції, операція АБО-НІ);

f₉ (x₁, x₂) = x₁ ~ x₂ – еквівалентність;

f₁₀ (x₁, x₂) = ₂ – повторення ₂;

f₁₁ (x₁, x₂) = – імплікація;

f₁₂ (x₁, x₂) = ₁ – повторення ₁;

f₁₃ (x₁, x₂) = – імплікація;

f₁₄ (x₁, x₂) = x₁ / x₂ – штрих Шеффера (заперечення диз’юнкції, операція І-НІ);

f₁₅ (x₁, x₂) = 1 – тотожна одиниця (константа 1).

Функцію f₁ (x₁, x₂) часто називають логічним множенням. Тут замість знака «•» використовують також знак «&» або « ».

Очевидно, що серед схем, які реалізують дану функцію, є найбільш проста. Пошук логічної формули, що відповідає цій схемі, має великий практичний інтерес, а перетворення формул булевих функцій основано на використанні співвідношень булевої алгебри.

Для булевої алгебри визначені одна одномісна (унарна) операція –«заперечення» і дві двомісні (бінарні) операції – «кон’юнкція» та «диз’юнкція» (позначаються символами «•», « » відповідно).