1. Графи. Основні поняття та визначення

Теорія графів надає виключно зручний апарат для моделювання структур різних систем і відношень між об'єктами найрізноманітнішої природи. Завдяки наочності і простоті цей апарат останнім часом завоював широке визнання і часто використовується при дослідженні та моделюванні різних інформаційних процесів.

1.1. Визначення графа

Багато завдань зводяться до розгляду сукупності об'єктів, істотні властивості яких описуються зв'язками між ними. Інтерес можуть представляти різні зв'язки і відношення між людьми, подіями, станами і взагалі між будь-якими об'єктами, представлені точками і сполучними лініями або стрілками. Такі схеми зустрічаються усюди під різними назвами: соціограми (у психології), симплекс (у топології), електричні ланцюги (у фізиці), діаграми організації (в економіці), мережі комунікацій, генеалогічні дерева і так далі. Д. Кенінг перший запропонував назвати такі схеми «графами». У подібних випадках зручно дані об'єкти зображати точками, які звуться вершинами, а зв'язки між ними – лініями (довільної конфігурації), які звуться ребрами.

Графи використовуються при аналізі і синтезі зі скінченним числом станів. Вершини графа в цьому випадку відповідають станам дискретної системи, а дуги, наприклад, умовам переходу між станами або вірогідності переходу між ними.

Визначення. Множину вершин V, зв'язки між якими визначені множиною ребер Е, називають графом і позначають G = (V, E).

Часто зв'язки між об'єктами характеризуються цілком певною орієнтацією. Наприклад, на деяких вулицях допускається тільки односторонній автомобільний рух, транспортування газу газопроводом може бути направлене тільки в один бік, стосунки між людьми можуть визначатися підлеглістю або старшинством і тому подібне Орієнтовані зв'язки характеризують перехід системи з одного стану в інший, результати зустрічей між командами в спортивних змаганнях, різні відношення між числами (нерівність, подільність).

Для указання напряму зв'язку між вершинами графа відповідне ребро позначається стрілкою. Орієнтоване таким чином ребро називають дугою, а граф з орієнтованими ребрами – орієнтованим графом або коротше орграфом (рис. 1.1, а).

Якщо пара вершин з'єднується двома або більшою кількістю дуг, то такі дуги називають паралельними. При цьому дві дуги, однаково направлені по відношенню до даної вершини, називають строго паралельними, а різнонаправлені – нестрого паралельними. Нестрого паралельні дуги, що відображають орієнтацію зв'язку в обох напрямах, еквівалентні неорієнтованому зв'язку і можуть бути замінені ребром. Провівши таку заміну в орграфі, отримаємо змішаний граф, який містить ребра і дуги (рис. 1.1, б). Будь-який неорієнтований або змішаний граф можна перетворити в орієнтований заміною кожного ребра парою нестрого паралельних дуг.

а б

Рисунок 1.1 – Орієнтований (а) і

змішаний (б) графи

Подальше узагальнення відображення зв'язків між об'єктами за допомогою графів полягає в приписуванні ребрам і дугам деяких кількісних значень, якісних ознак або характерних властивостей, які називаються вагами. Граф, у якого задана вага для кожного ребра або дуги, називається зваженим. У простому випадку це може бути порядкова нумерація ребер і дуг, яка вказує на черговість при їх розгляді. Вага ребра або дуги може означати довжину (шляхи сполучення), пропускну здатність (трубопроводи), кількість набраних очок (турніри), кількість смуг руху (автомобільні дороги), характер стосунків між людьми (начальники, підлеглі) і тому подібне.

Вагу можна приписувати не тільки ребрам і дугам, але і вершинам. Наприклад, вершини, що відповідають населеним пунктам на карті автомобільних доріг, можуть характеризуватися кількістю місць в кемпінгах, пропускною здатністю станцій техобслуговування. Взагалі, вага вершини означає будь-яку характеристику відповідного їй об'єкта (колір предмета, що зображається вершиною, вік людини і т. ін.).