2.10. Нечітка алгебра

1. Перетином нечітких множин А і В є множина С, що складається зі всіх тих елементів базової множини U, які належать і нечіткій множині А і нечіткій множині В

C = (A ∩ B).

Степінь приналежності елемента базової множини нечіткій множині C дорівнює мінімальному значенню функції приналежності для нечітких множин А і В, тобто

_А∩В = min{_А; _В}.

Наприклад:

, ,

.

2. Об'єднанням нечітких множин А і В є множина С, що складається зі всіх тих елементів множини U, які належать хоч би одній нечіткій множині А або В

C = (A U B).

Степінь приналежності елемента базової множини нечіткій множині C дорівнює максимальному значенню функції приналежності для нечітких множин А і В, тобто

_АUВ = max {_А; _В}.

Наприклад:

, ,

.

3. Доповненням нечіткої множини A є нечітка множина  A, що складається зі всіх елементів універсальної множини U, які не належать до нечіткої множини А.

Степінь приналежності елемента нечіткій множині  A дорівнює доповненню до значення степеня приналежності базовій множині U, тобто

_A(u)= 1 – _A(u).

Наприклад:

, .

Для заданих множин маємо:

 ,

 .

4. Різницею нечітких множин А і В є множина С, що складається з тих елементів множини U, які належать нечіткій множині А і не належать нечіткій множині В, тобто

C = A \ B = A ∩ B.

Степінь приналежності| нечіткій множині C дорівнює мінімальному значенню функції приналежності одного і того ж елемента нечітких множин А і  В, тобто

_С(u) = _A(u)  (1 – _B(u)) = min {_A(u); (1 – _B(u))}.

Наприклад: Для множин з попереднього прикладу маємо:

.

5. Симетричною різницею нечітких множин А і В є множина С, що складається зі всіх тих елементів універсальної множини U, які належать нечіткій множині А і не належать нечіткій множині В або належать нечіткій множині В і не належать нечіткій множині А, тобто

С = А  В = (А ∩ В) U (В ∩ А).

Степінь приналежності нечіткій множині C дорівнює максимальному значенню двох мінімальних значень одного і того ж елемента множин (А ∩  В) і (В ∩ А), тобто

_C (u) = (_A (u)  _B(u))  (_B(u)  _A(u_i)) =

= max {min {_A(u); _B(u)}; min {_B(u); _A(u_i)}}.

Наприклад: Для множин з попереднього прикладу маємо:

.

6. Прямим добутком нечітких множин А і В є множина C, що складається зі всіх тих або тільки тих впорядкованих пар (u_i, u_j), перша компонента яких належить множині А, а друга – множині В, тобто

C = А  В.

Степінь приналежності (u_i, u_j) нечіткій множині C дорівнює мінімальному значенню функцій приналежності елементів u_i  A і u_j  B:

_С (u_i ,u_j) = (_A(u_i)  _B (u_j) = min{_A(u_i); _B (u_j)}.

Наприклад: Для множин з попереднього прикладу маємо матрицю суміжності:

C	uj = u1	uj = u2	uj = u3	uj = u7	uj = u8	uj = u9
u1 = ui	0,6	0,4	0,6	0,6	0,3	0,5
u1 = ui	0,4	0,4	0,4	0,4	0,3	0,4
u3 = ui	0,8	0,4	0,8	0,7	0,3	0,5
u4 = ui	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2
u5 = ui	0,9	0,4	1,0	0,7	0,3	0,5
u6 = ui	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3