2.2.3. Свободные колебания, сухое трение

Рассмотрим движение упруго закрепленного тела массой m по шероховатой поверхности. Как уже отмечалось, в этом случае говорят, что имеет место сухое трение (рис.17). Сила трения, действующая на массу m, постоянна по величине и направлена в сторону, противоположную движению. Уравнение свободных колебаний такой системы имеет вид

(8)

где знак плюс соответствует этапу движения, на котором скорость положительна, а знак минус - этапу движения, на котором скорость отрицательна.

Зависимость полной действующей на груз силы F=cx ± R₀ от смещения x показана на рис. 18,а.

Рис. 17. Движение тела по шероховатой поверхности

Перепишем уравнение (8) в виде

(9)

Функция sgn есть единичная функция, имеющая знак аргумента (рис.18,б); sgn =1 при >0; sgn = -1 при <0; sgn=0 при =0.

Уравнение (9) содержит нелинейное слагаемое. Тем не менее можно найти решение, если рассмотреть последовательные интервалы движения, на каждом из которых скорость имеет постоянный знак.

Отклоним массу m в крайнее правое положение на величину А и отпустим ее без начальной скорости. В этом случае

X₀=A

(10)

Под действием натяжения пружины на этом этапе груз двигается влево ( <0) и уравнение движения

,

или

(11)

Где ;   .

Коэффициент а представляет собой отклонение груза под действием максимально возможной силы трения. При отклонении массы m на величину, меньшую или равную а, движение не начнётся, так как силы упругости пружины недостаточно для преодоления силы трения. Полоса -а<x<a называется зоной застоя. Поэтому уравнение (11) имеет место при А>a.

Рис. 18. Зависимость силы, действующей на груз от перемещения

Общее решение уравнения (11) имеет вид

.

Определяя постоянные интегрирования из начальных условий (10) получим

. (12)

Закон движения (12) справедлив до тех пор, пока <0. Так как , то скорость движения будет отрицательной до момента времени t₁, определяемого из условия: t₁ = . В этот момент масса m остановится, смещение x равно

,

т. е. под влиянием трения отклонение массы m уменьшилось по абсолютной величине на 2а.

После остановки масса m начнёт двигаться вправо. Повторяя приведенные выше расчёты, можно показать, что движение слева направо также продолжается в течение времени / . Максимальное отклонение вправо равно А - 4а. Процесс движения будет продолжаться до тех пор, пока масса m не остановится в зоне застоя. Зависимость смещения x от времени t на каждом этапе движения представляет собой косинусоиду, смещённую по оси x на величину а или -а, с амплитудой, уменьшающейся по закону арифметической прогрессии (рис.19).

Рис. 19. Зависимость смещения от времени

Время между двумя соседними максимумами отклонения, которое условно можно назвать периодом колебаний,

.

Наличие сухого трения не меняет частоту колебаний.

Фазовый портрет свободных колебаний системы с сухим трением представлен на рис.20.

В координатах гармонический закон движения изображается дугами окружностей.

Если в (11) ввести новую переменную (X – a), то получится уравнение гармонических колебаний без трения. Это движение на фазовой плоскости изображается полуокружностью радиусом (A – a) с центром в точке X = a. На втором этапе движения, когда X > 0, уравнение движения может рассматриваться как уравнение гармонических колебаний со смещением (X + a). На фазовой плоскости на втором этапе движения получаем полуокружность с центром в точке X = - a. И так до тех пор, пока кривая при X = 0 не попадёт в зону застоя – a < X < a.

Рис. 20. Фазовый портрет свободных колебаний системы с сухим трением.