6.5. Теоретическое исследование процесса вибрационного перемещения модели слоя сыпучего груза

Рассмотрим процесс движения упруго – вязко-пластичной модели слоя, изображенной на рис. 56, по грузонесущему органу вибрационной машины, колеблющемуся под углом вибрации . Исследуем наиболее распространенный на практике случай, когда расположенный горизонтально рабочий орган (α = 0) приводится в гармоническое колебательное движение относительно неподвижной системы координат .

Рис. 56. Упруго-вязко-пластичная модель слоя

На модель в слоя процессе ее виброперемещения действуют следующие силы: сила тяжести ; упругие силы - пропорциональные относительному перемещению массы – ; силы вязкого сопротивления, пропорциональные соответствующей скорости ; силы трения . При пластических вертикальных деформациях слоя, т. е. когда нормальная реакция слоя N преодолеет сопротивление сдвигу условного клина, на массу в вертикальном направлении действует дополнительная сила

.

В фазе 1 – упругого перемещения, поведение модели в проекциях на подвижные связанные с грузонесущим органом оси координат XOY описывается следующими уравнениями:

, (29)

где

. (30)

В момент, когда продольная сила F преодолеет силу трения покоя , начинается фаза 2 - скольжение модели по виброплоскости. Движение груза в этом периоде описывается уравнениями:

, (31)

где

(32)

Сила сухого (Кулонового) трения меняет направление в зависимости от величины силы инерции, будучи направленной всегда в противоположном направлении движению модели. Это вносит нелинейность в уравнение (31, б), принимающее в силу этого вид:

. (33)

Если нормальная реакция грузонесущего органа становится равной нулю, контакт слоя с виброплоскостью нарушается. Наступает 3 фаза движения - этап полета, описываемый системой уравнений:

(34)

Разделив уравнения 1,3,6 на m и введя следующие обозначения:

где – собственные частоты колебаний модели; – коэффициенты демпфирования.

Получим уравнения движения в соответствующих фазах следующего вида:

1 фаза (35)

2 фаза (36)

3 фаза (37)

Проекции перемещения, скорости и ускорения грузонесущего органа на неподвижные оси X`O`Y`:

(38)

После подстановки выражений (38) уравнения 35, 36 и 37, примут вид:

(39)

(40)

(41)

Процесс вибрационного перемещения груза в каждый период колебания рабочего органа последовательно описывается уравнениями (38)–(41) при решении переход от одного уравнения к другому обусловливается моментами начала и конца фаз упругой деформации , скольжения и полета . Эти величины находятся из решения специальных трансцендентных уравнений, составленных с учетом начальных условий.

Задачей исследования процесса является определение средней за цикл скорости движения слоя V и энергоемкости процесса W, необходимых для нахождения оптимальных соотношений конструктивных и кинематических характеристик машины.

Решение задачи удобнее всего начать с исследования уравнения (41,а), описывающего движение груза в начальной фазе упругих деформаций. Это позволит получить нормальную реакцию слоя N, необходимую для определения моментов начала некоторых фаз и решения других уравнений.

Для решения уравнения (41,а) записываем характеристическое уравнение:

;

корни характеристического уравнения:

;

общее решение уравнения 34,а без правой части (соответствующего однородного уравнения):

где

искомые коэффициенты:

;

подставляя полученные выражения в общее решение уравнения (41,а), после введения обозначений:

– коэффициент расстройки;

– коэффициент демпфирования;

уравнение примет вид:

(42)

проекция относительной скорости модели на ось:

(43)

Постоянные интегрирования находятся из начальных условий.

Так в момент пуска машины, т. е. при первой фазе совместного движения, можно считать, что время и скорость равны нулю, а перемещение соответствует статической деформации слоя . Тогда уравнения (42) и (43) примут вид:

Отсюда искомые коэффициенты:

В общем случае для последующих циклов, когда движение становится установившимся, эти коэффициенты находятся подобным способом, но при других начальных условиях. Фаза 1 (совместное движение без проскальзывания) начинается в момент падения груза, т. е. конца фазы 3-полета.

В этот момент конца полета

Тогда окончательно равнения вертикального перемещения и скорости в фазе 1 имеют вид:

(44)

Получив величины , можем найти значение нормальной реакции виброплоскости слою груза:

(45)

где

Далее учитывается условие, что в момент перехода к фазе полета от совместного движения груз не оказывает давление на дно рабочего органа. Это дает возможность, приравняв(40) к нулю при начальных условиях , получить время начала фазы полета. Тогда вертикальное перемещение и скорость груза в этой фазе из уравнения (41) после преобразований примут вид:

(46)

где ; .

Постоянные интегрирования K₃ и K₄ находятся также, как и K₁, K₂ из решения системы уравнения (46), при начальных условиях.

Ранее, при получении уравнения (44), мы задались моментом падения груза (конца полета) t_кп. В данный момент эту величину можно получить, приравняв при t=t_кп к нулю относительное перемещение y по уравнению (46).

Продольное перемещение и скорость модели в фазе I-/совместного движения/ можно найти аналогично с помощью уравнения (39) при начальных условиях t=t_н; x(t_н)=x_н.

Момент времени t_н в зависимости от режима работы может быть либо моментом падения груза на плоскость /t_н=t_кп/, либо моментом начала движения после кратковременной остановки /t_н=t_ост/. Выбор конкретного начального условия производится на основе предварительного анализа движения.

(47)

где

;

;

Перейдем к анализу этапа скольжения груза (фаза 1). Момент перехода к этапу скольжения t_нск можно определить в результате решения трансцендентного уравнения:

(48)

т. к. в этот момент сдвигающая сила сравнивается с силой статического трения.

Предварительно получим выражения продольного перемещения во 2 фазе движения при начальных условиях t=t_н; x(t_н)=x_н.

(49)

где

Остальные постоянные коэффициенты находятся аналогично предыдущим.

Подставив в уравнение (48) из выражения (49) из (44), получим моменты начала скольжения t_нск , причем скольжение груза может происходить как вперед, так и назад (соответственно при ).

Перемещение слоя вдоль грузонесущего органа в последней фазе движения – полете, получим из уравнения (36) при начальных условиях t = t_нп; y(t_нп) = y_нп.

(50)