6. Рівняння бернуллі

Рівняння Бернуллі – це рівняння виду:

,

(6.11)

де – задані функції. При рівняння Бернуллі перетворюється в рівняння з відокремлюваними змінними.

При маємо лінійне рівняння.

Якщо і , то заміною рівняння Бернуллі (6.11) приводиться до лінійного рівняння відносно нової функції . Але на практиці немає необхідності замінювати змінну. Рівняння Бернуллі краще розв’язувати, як і лінійне, за допомогою підстановки

,

не приводячи його спочатку до лінійного рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння

Записавши дане рівняння у вигляді

,

досить легко визначити, що це – рівняння Бернуллі, де

Використаємо підстановку , тоді . Підставляємо вираз для і в дане рівняння і, аналогічно тому, як це робили при розв’язку лінійного рівняння, групуємо доданки:

Вираз у дужках, як і раніше, вважаємо рівним нулю:

Для визначення функції маємо рівняння

,

або враховуючи розв’язок для :

Після інтегрування маємо:

Тоді загальний розв’язок має вигляд:

7. Задачі на складання диференціальних рівнянь

Диференційні рівняння – один з найефективніших інструментів, які використовують для математичного моделювання процесів чи явищ у природничих науках. Розглянемо кілька типових прикладів.

Приклади.

1. Вітер у лісі втрачає частину своєї швидкості. На нескінченно малому проміжку шляху ця втрата пропорційна швидкості на початку цього проміжку і на довжині проміжку. Знайти швидкість вітру, який пройшов лісом 150 м, знаючи, що до вступу в ліс початкова швидкість вітру =12 м/с, а після проходження лісом шляху =1м швидкість вітру зменшилась до величини =11,8 м/с.

Розв’язок.

Нехай на відстані від початку лісу швидкість вітру дорівнює V, втрата швидкості на шляху дорівнює (процес згасаючий). За умовою втрата швидкості вітру пропорційна і . Отже диференційне рівняння процесу має вигляд

де k – коефіцієнт пропорційності.

Відокремлюючи змінні, дістанемо . Звідки одержимо загальний розв’язок рівняння . Оскільки повинна виконуватись початкова умова , то . Це і є закон шуканого процесу проходження вітру через ліс. Для визначення коефіцієнта пропорційності скористаємось умовою, що при =1, =11,8 м/с. Тому або .

Підставляючи у загальний розв’язок рівняння числові значення, отримаємо 0,93 (м\с).

2. Конденсатор з ємністю С включається в електричне коло з напругою Е і опором R. Визначити заряд конденсатора q в момент включення t після включення.

Розв’язок.

У момент заряд конденсатора дорівнює q, а сила струму . У колі діє електрорушійна сила , яка дорівнює різниці між напругою електричного кола і напругою конденсатора , тобто .

За законом Ома сила струму або . Отже диференційне рівняння процесу має вигляд і є лінійним. Загальний розв’язок рівняння , де – параметри, а А – довільна стала. Згідно з початковими даними при . Отже, , звідки А=СЕ. Таким чином, закон шуканого процесу описується формулою