4. Рівняння в повних диференціалах

Рівняння виду

, (4.5)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції , тобто

Загальний інтеграл рівняння (4.5) має вигляд

Для того щоб рівняння (4.5) було рівнянням у повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб

Функцію знаходять за формулою

(4.6)

При цьому в формулі (4.6) нижні границі інтегралів ( і ) довільні; їх вибір обмежений єдиною умовою – інтеграли в правій частині цієї формули повинні мати сенс (тобто не бути розбіжними невласними інтегралами другого роду). Якщо умова не виконується, то існує така функція , що Функція називається інтегрувальним множником і задовольняє умові

Приклади. Знайти загальний інтеграл рівняння.

1.

Тут

Отже, ліва частина рівняння являється повним диференціалом деякої функції , тобто

Проінтегруємо по :

Знайдемо функцію , продиференціювавши останній вираз по :

Одержуємо рівняння

звідки знаходимо

Таким чином, загальний інтеграл рівняння має вигляд:

2.

Тут

Таким чином, умова повного диференціала виконана, тобто дане рівняння є рівнянням у повних диференціалах.

Знайдемо загальний інтеграл за формулою

Прийнявши , одержимо

або

Підставляючи границі маємо

або

де

5. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

(5.7)

де і – задані і неперервні на деякому проміжку функції.

а) Метод Бернуллі розв’язку лінійних рівнянь

Шукаємо розв’язок рівняння (5.7) у вигляді добутку двох функцій і , тобто використовуємо підстановку виду

(5.8)

Тоді вираз для похідної матиме вигляд

.

Після підстановки виразів для і в рівняння (5.7) і, групуючи доданки в ньому, наприклад, наступним чином

одержимо два рівняння з відокремлюваними змінними:

Приклади. Розв’язати рівняння.

1. .

Це лінійне рівняння

Використаємо підстановку

; .

Підставимо і в рівняння і групуємо доданки наступним чином:

Вираз у дужках вважаємо рівним нулю:

Відокремлюючи змінні, маємо:

Звідси маємо: . З урахуванням знайденого виразу для маємо рівняння для визначення функції :

де – константа інтегрування.

Загальний розв’язок рівняння матиме вигляд

2.

Переписавши дане рівняння у вигляді

легко переконатись, що воно є лінійним. Як і раніше використаємо підстановку

; .

Тоді

Групуючи підкреслені доданки маємо:

Інтегруючи послідовно рівність, знаходимо:

звідси

Далі знаходимо із співвідношення:

Загальний розв’язок має вигляд:

Знайдемо частинний розв’язок, який задовольняє початковій умові

Отже, отримали частинний розв’язок

б) Метод варіації довільної сталої

Якщо в правій частині рівняння (5.7) функція , то лінійне рівняння називається лінійним однорідним. Лінійне однорідне рівняння завжди є рівнянням з відокремлюваними змінними.

Метод варіації довільної сталої полягає в наступному: шукаємо розв’язок однорідного лінійного рівняння, яке відповідає даному, тобто

(5.9)

Легко переконатись, що загальний розв’язок однорідного лінійного рівняння (5.9) буде мати вигляд

(5.10)

де – довільна стала.

Вважаємо в загальному розв’язок однорідного рівняння (5.10) функцією від , тобто . Підставляючи вирази для і (знайдені з урахуванням того, що ) в початкове рівняння (5.7), одержимо після нескладних перетворень рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції .

Приклади. Розв’язати рівняння.

1.

Запишемо відповідне однорідне рівняння

Розв’язуємо його відокремлюючи змінні:

Користуючись властивостями логарифмів, знаходимо:

Вважаємо , тоді

Підставляємо вирази для і в початкове рівняння:

Звідки

Оскільки , то

де – нова довільна стала інтегрування.

Загальний розв’язок має вигляд

2.

Відповідне однорідне рівняння має вигляд:

Відокремлюючи змінні, знаходимо:

Вважаємо , тоді

Підставляємо в початкове рівняння, знаходимо:

Тоді

Тоді загальний розв’язок має вигляд

.

Визначимо значення сталої при початковій умові:

Частинний розв’язок має вигляд: