2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними Рівняння виду

,

(2.2)

де і – задані і неперервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Рівняння виду

(2.3)

називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Загальний інтеграл диференціального рівняння (2.2) має вигляд

Диференціальне рівняння (2.3) є окремим випадком рівняння виду

Для відокремлення змінних у цьому рівнянні досить обидві його частини поділити на функцію

Приклади. 1.Знайти загальний інтеграл рівняння.

а).

Необхідно в диференціальному рівнянні зробити перетворення таким чином, щоб коефіцієнтами при диференціалах та були функції, які залежать відповідно лише від і лише від .

Поділимо обидві частини даного рівняння на добуток функцій . Вважаємо, що . Одержимо

Почленно проінтегрувавши дане рівняння маємо:

Звідси

– загальний інтеграл рівняння. Розв’язок у=0 міститься у загальному розв’язку при С=0. Розв’язок х=0 не міститься у загальному розв’язку.

б).

Запишемо похідну у вигляді співвідношення диференціалів .

Помноживши обидві частини рівняння на , маємо:

Поділивши обидві частини даного рівняння на добуток функцій при одержимо

Інтегруючи обидві частини рівняння маємо:

Загальний інтеграл рівняння має вигляд:

.

Розв’язки у=1 і х=0 містяться у загальному розв’язку при С=0.

2. Розв’язати задачу Коші.

Поділивши обидві частини даного рівняння на добуток функцій при одержимо

Інтегруючи обидві частини рівняння маємо:

Визначимо з початкових умов довільну сталу :

Підставивши знайдене значення довільної сталої у загальний інтеграл, одержимо розв’язок задачі Коші

3. Однорідні диференціальні рівняння

Рівняння виду називається однорідним, якщо і – однорідні функції одного виміру. Функція називається однорідною функцією -го виміру, якщо при множенні змінних та на довільний параметр значення функції задовольняє

.

Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо функція являється однорідною функцією нульового виміру.

Однорідне диференціальне рівняння може бути зведене до вигляду:

.

(3.4)

За допомогою підстановки , де – нова функція, рівняння (3.4) зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно, так як

то ,

або

Так як то очевидно, що можна розділити змінні при :

Приклади. Розв’язати рівняння.

1.

Це рівняння є однорідним тому, що – однорідна функція нульового виміру:

.

Покладемо , звідки . Підставимо в рівняння:

Так як , то можна відокремити змінні:

Інтегруємо обидві частини рівняння:

Підставивши , маємо

.

2.

Тут . Обидві функції – однорідні першого виміру.

Покладемо , звідки Підставимо в рівняння:

Відокремлюючи змінні та інтегруючи маємо:

Або, з урахуванням того, що :