Диференціальні рівняння – один з найважливіших розділів курсу вищої математики, знання їх необхідне при вивченні електротехніки, теоретичної механіки, опору матеріалів, при моделюванні різноманітних фізичних і технічних проблем.

Диференціальні рівняння першого порядку

1. Загальні поняття та означення

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

(1.1)

яке пов’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідну, або, якщо його розв’язати відносно похідної

.

Розв’язком диференціального рівняння (1.1) на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (1.1) перетворює його в тотожність по на .

Приклади. 1. – диференціальне рівняння першого порядку. Його розв’язком є функція

Дійсно, , тоді – одержали тотожність.

2. , розв’язком диференціального рівняння є функція . Дійсно, , тоді – одержали тотожність.

Функція , яка залежить від аргументу і довільної сталої , називається загальним розв’язком рівняння (1.1) в області , якщо вона задовольняє дві умови:

1) функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини;

2) для довільної точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову: .

Частинним розв’язком рівняння (1.1) називається функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні сталої .

Задача, в якій необхідно знайти частинний розв’язок рівняння (1.1), який задовольняє початковій умові , називається задачею Коші.

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння то такий розв’язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння (1.1). Рівність називають частинним інтегралом рівняння.

Приклади. 1. Перевірити, що функція являється загальним розв’язком диференціального рівняння

Знаходимо

Підставляємо в рівняння:

Або після перетворень одержимо тотожність

2. Знаючи, що функція – загальний розв’язок рівняння , знайти частинний розв’язок, який задовольняє початковим умовам при .

Легко переконатись у тому, що функція дійсно являється загальним розв’язком заданого рівняння, так як

Задовольняючи початковим умовам, знаходимо:

Отже, частинний розв’язок має вигляд:

З геометричної точки зору загальний інтеграл визначає на координатній площині сім’ю кривих, залежну від довільної сталої. Частинному розв’язку відповідає одна крива цієї сім’ї, що проходить через задану точку. В кожній точці така крива, яка називається інтегральною кривою, буде мати дотичну з кутовим коефіцієнтом . Сукупність трійок утворює так зване поле напрямків. Геометричне місце точок з однаковим напрямом поля називають ізоклінами.

Для задачі Коші і є теорема про існування та єдиність розв’язку.

Якщо функція неперервна в області D разом зі своєю частинною похідною , тоді для будь-якої точки (х₀,у₀), яка належить області D, задача Коші має і причому єдиний розв’язок, визначений в деякому околі точки х_0.

Приклади. 1. Знайти область існування та єдиності розв’язків диференціального рівняння

.

Оскільки права частина заданого рівняння та частинна похідна є неперервними функціями в усій дійсній площині, то рівняння має єдиний розв’язок для будь-якої точки (х₀,у₀).

2. Знайти область існування та єдиності розв’язків рівняння

.

Права частина заданого рівняння визначена і неперервна при . Оскільки частинна похідна не є неперервною при у=0, то в точках прямої у=0 умови теореми не виконуються, тобто рівняння має більше одного розв’язку.