3.2Лінійні рівняння о. Д.Р. Виду

(3.2.1)

наз. лінійним диференціальним рівняням(л.д.р) n-го порядку. Функції наз. коефіцієнтами,а наз. правою частиною л.д.р. або вільним членом.Якщо

0,то л.д.р. наз . лінійним однорідним.д.р.(л.o.д.р.):

(3.2.2)

(відповідне скорочення для (3.2.1) :л.н.д.р.).

Функції наз. коефіцієнтами л.д.р.

Є вірними такі твердження:

1. Якщо та є розв’язками рівнянь

та

відповідно , то = +

є розв’язком рівняння

+ ,де та сталі .

2. Загальний розв’язок л.н.д.р (3.2.1) є :

, (3.2.3)

де

є загальний розв’язок л.о.д.р (3.2.2) ,

є якийсь частинний розвя’зок л.н.д.р (3.2.1).

3. Загальний розв’язок л.о.д.р. (3.2.2) є лінійною комбінацією частинних розвя’зків

цього рівняння , що складають його фундаментальну систему

, (3.2.4)

де довільні сталі.

(Система з лінійно незалежних розвя’зків л.о.д.р (3.2.2) наз. фундаментальною системою розвя’зків цього рівняння(ф.с.р.) ).

Зокрема сума двох частинних розвя’зків л.о.д.р. є розв’язком цього ж л.о.д.р.; а для л.н.д.р таке твердження не вірне.

4)Метод варіації сталих.

Якщо відома ф.с.р. (3.2.2) ,то загальний розв’язок л.н.д.р (3.2.1) можливо шукати у вигляді

, (3.2.5)

де функції знаходимо за допомогою системи лінійних алгебраїчних рівнянь для похідних цих функцій:

(3.2.6)

Приклад:

. . (3.2.7)

Знайдемо ф.с.р. відповідного л.о.д.р.

. (3.2.8)

, , ,

,

. ,

= , що є загальним розв’язком (3.2.8) ,а загальний розвязок л.н.д.р. (3.2.7) знайдемо за (3.2.3):

.

В даному випадку легко знайти способом підбору , знаючи : .Нехай = ,тоді підставимо до(3.2.7) :

, отже = , і маємо

Відповідь:

Розв’яжемо тепер (3.2.7) методом варіації сталих.

Ф.с.р. нам уже відома:

Відповідно .

Загальний розв’язок л.н.д.р (3.2.7) шукаємо у вигляді

+ , (3.2.9)

,

,

,

Підставивши отримані результати до (3.2.9), маємо :

Відповідь:

3.3Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Розглянемо л.о.д.р., в якому коефіцієнти є сталі.

(3.3.1 )

Частинні розв’язки знаходимо у вигляді :

,

де є розв’язком характеристичного рівняння (х.р.)

=0 (3.3.2)

Це алгебраїчне рівняння має n коренів (деякі з них ,або й усі, можуть бути комплексними) з урахуванням кратності.Наприклад рівняння

,

має корені :

Розглянемо два різні випадки.

1. Всі корені різні , дійсні

Маємо n функцій , ,..., ,

які є лінійно незалежними частинними розвязками рівняння (3.3.1), отже складають ф.с.р. л.о.д.р. (3.3.2).Загальний розвязок (з.р-к) такий :

+ +...+ .

Приклади:

1) , (3.3.3)

Відповідне х.р. таке :

,

, , усі корені х.р. дійсні.

Отже з.р-к д.р. (3.3.3) буде такий :

Відповідь: .

2) . (3.3.4)

Відповідне х.р. таке :

,

, ,

, усі корені х.р. дійсні.

Отже з.р-к д.р. (3.3.4) буде такий :

Відповідь: .

2 . Всі корені різні , хоч деякі з них комплексні

Відомо , що комплексні корені рівняння з дійсними коефіцієнтами присутні спряженими парами та .Кожна з таких пар коренів х.р. дасть два ч.р-ки д.р. :

та .

Приклади

1) . (3.3.5)

Відповідне х.р. таке :

,

,

отже і маємо з.р-к д.р. (3.3.5) :

Відповідь: .

2) (3.3.6)

Відповідне х.р. таке :

,

, ,

Відповідь: .