5. Особливі розв’язки

О. інтегральна крива д.р. =0,

через кожну точку якої проходить ще хоч одна інтегральна крива з тією ж дотичною, наз. особливою, а визначена її рівнянням функція наз. особливим розв’язком д.р.

Необхідною умовою того, щоб через точку проходив особливий розв’язок д.р. , є несправдження в цій точці умови теореми Коші, а саме треба: М (*)

при , де М як завгодно велике додатнє число.

Приклад:

є необмеженою в усіх точках прямої у=0 , значить функція , яка очевидно задовольняє дане рівняння , може бути його особливим розв’язком . Загальний розв’язок :

.

Розв’язок не можна дістати із загального ні при якому значенні довільної сталої С , і через кожну точку прямої у=0 проходить частинний розв’язок , який отримаємо із загального при С= .

Пропонуємо таке правило знаходження особливих розв’язків:

1)знайти множину точок , в яких виконується умова (*),

2)підстановкою перевірити , чи є множина розв’язком даного д.р.,

3)перевірити ,чи проходить через кожну точку знайденої множини якийсь частинний розв’язок , отриманий із загального.

Якщо умови 1)-3) виконані , то знайдена множина є особливим розв’язком даного д.р. Приклад:

.

1) необмежено зростає при наближенні до прямої ;

2) є розв’язком даного д.р. : 1=0+1;

3) через кожну точку знайденої множини проходить частинний розв’язок , отриманий із загального ,

а саме .

Висновок : є особливим розв’язком даного д.р.

Зазначимо , що особливі розв’язки можливі у д.р. усіх вищерозглянутих типів , крім

лінійних .Наприклад , д.р.Бернуллі (2.4.4) має особливий розв’язок .

РЗДІЛ 3

Рівняння вищих порядків

Якщо д.р. n-го порядку

(3.1)

розв’язується відносно , тобто зводиться до

= (3.2)

то по теоремі Коші за неперервності в n-мірній області , що містить значення існує єдиний розв’язок , який задовольняє початкові умови

.Це розв’язок задачі Коші і він є частинним , а загальний розв’язок крім х залежить ще від n довільних сталих . При конкретних значеннях сталих отримуємо певний частинний розв’язок.

3.1 Рівняння , які допускають зниження порядку

1. Д.р. виду

(3.1.1)

розв’язуються шляхом n-кратного інтегрування :

= ,

наприклад :

а) , (3.1.1)

, ...,

Відповідь: ;

б) , (3.1.2)

, ,

Відповідь: + .

2.У (3.1) F не вміщує y : .

Робимо підстановку , , і порядок д.р. знижено на 1.

Якщо відсутні та то .

Наприклад :

а ) (3.1.3)

, і д.р. буде :

, ,

, ,

, = ,

y= ( )dx=

Відповідь: .

б) , (3.1.4)

Отримали неоднорідне лінійне д.р. першого порядку для .Скористаємося методом підстановки Бернуллі.

=

, = , , .

= , , , ,

=3 =

3 =

=

Так як є довільна стала , то замість можемо записати просто .

Відповідь:

3. У (3.1) F не вміщує х: .

Робимо підстановку .

Наприклад, задача Коші :

(3.1.5)

Зробивши підстановку, маємо

, , .

Визначимо ,врахувавши , що :

, .

, , а оскільки за початковими умовами р>0 , то беремо “+” :

, , , .

Так як за початковими умовами при х=-1 у=1 , то маємо:

, =0 ,отже .

Відповідь: .

Д.р. (3,1,5) можемо розв’язати і простіше , не вводячи р.

Помноножимо обидві частини рівняння на . Маємо :

, або враховуючи , що ,

, ,

, .

Подальші дії співпадають з попереднім способом.