2.4 Рівняння Бернуллі
О.
Д.р.
=
(2.4.1)
наз.д.р.
Бернуллі , якщо
.
(При m =1 це рівняння лінійне однорідне , а при m =0 –лінйне неоднорідне , тому ці значення m виключаються )
Д.р.
Бернуллі зводиться до лінійного множенням
його на вираз
,
:
+
=
,
а потім заміною
,
.
В результаті отримаємо лінійне д.р.
=
.
(2.4.2)
Якщо
загальним розв’язком д.р. (2.4.2) є функція
, то загальним розв’язком д.р. (2.4.1) є
.
Наприклад
:
.
Тут m=3
,1-m=-2
,
отже ,
,
підстановка
:
,
,
,
=4z-2
,
=4
,
,
,
Відповідь:
Підкреслимо , що на практиці д.р. Бернуллі простіше розв’язувати за допомогою підстановки Бернуллі .Наприклад :
=
,
,
+
=
,
=
,
=0 ,
=
,
,
,
=
,
=
,
= 2
,
/25
,
Відповідь:
.
Рівняння в повних диференціалах
О.
Д.р.
(2.5.1)
наз. рівнянням в повних диференціалах , якщо функції M(x,y) і N(x,y) та їх частинні похідні неперервні в заданій області і виконується рівність:
=
(2.5.2)
При
цьому ліва частина (2.5.1)
є
повним диференціалом деякої функції
,
тобто (2.5.1) має вигляд :
(2.5.3)
(
M(x,y) =
,
N(x,y) =
.
)
Загальний інтеграл цього д.р. такий :
=С . (2.5.4)
можемо знайти так :
=
, (x=const),
або :
==
,
y=const.
Наприклад:
.
(2.5.5)
Впевнимося , що = .
,
=
,
отже (2.5.5) є д.р. в повних диференціалах
.
Тут
.
=
=x+
=
x
,
або
=
=
x
.
Відповідь:
Ще приклад:
(
)
,
(
)dx
+ (
)dy=0
.
,
=
,
отже
=
.
=
=
tdt
+
(
)dt
=
=
.
Відповідь:
=C.
Якщо ліва частина д.р. не є повним
диференціалом
, то завжди існує така функція
,
що
буде повним диференціалом .
О. наз. інтегруючим множником.
Інтегруючий множник знаходять з д.р. у частинних похідних:
=
. (2.5.6)
Якщо
є функцією не залежною від у , то
інтегруючий множник , залежний лише від
х , існує :
.
Приклад:
.
(2.5.7)
,
отже
, треба шукати інтегруючий множник.
(
)/N
=
=1
від
у не залежить , отже ,маємо :
,
тепер
M=
,N=
.
=
=
=
.
Відповідь: =C.
Якщо
є функцією не залежною від x
, то інтегруючий множник , залежний лише
від y
, існує :
.
Приклад:
(2.5.8)
,
отже
, треба шукати інтегруючий множник.
(
)/M
=
від
x
не
залежить , отже ,маємо :
,
(2.5.8) після
множення на
буде мати вид
,
=
=
=
.
Відповідь:
З (2.5.6) можливо знайти умови існування інтегруючих множників виду
тощо.