2.2 Однорідні диференціальні рівняння
О. Д.р. (2.2.1)
наз
однорідним , якщо
,де
-довільний
вираз.
Однорідне
д.р. зводиться до д.р. з відокремлюваними
змінними : візьмемо
=
,
=
,
(2.2.1) буде
:
=
.
(2.2.2)
Нехай
=
(застосуємо
таку підстановку),
,
і (2.2.2) матиме вигляд :
+
=
,
=
-
,
=
, а це вже д.р. з відокремленими змінними.
Інтегруючи , маємо :
= + ,( або +С ).
Зауваження : ясно , що константа С від операції до операції може змінюватися, але, оскільки ця const є довільною, то ми увесь час позначатимемо її однією і тією ж літерою.
Приклади:
1)
=
(2.23),
u=
,
,
=
,
,
=
,
= ln
+
,
,
,…,
Відповідь:
.
Зазначимо, що (2.23) є одночасно і д.р. з відокремлюваними змінними :
,
Відповідь:
.
2)
(2.2.4)
,
y=ux,
,
=
, x
,
=
,
=
,
arctgu
-
=
ln
+
,
arctg
=
;
це
рівняння не розв’язується відносно у
( або х ) , тому загальний розвязок д.р. (2.2.4) можливо дати лише в вигляді загального інтегралу :
Відповідь:
arctg
-
=0.
Д.р. (2.2.4) можемо доповнити початковою умовою , наприклад , у(1)=0 .Маємо :
arctg0-
=0,
=1
,
і розв’язком Задачі Коші буде частинний інтеграл.
Відповідь:
arctg
=
.
3)
=4
(2.2.5),
u=
,
+
,
,
=
4
,
=
4
,
= 4 ln
+
,
,
.
Остаточно
маємо загальний інтеграл д.р. (2.2.5) :
Відповідь:
Д.р.
(2.2.6)
при
зводиться
до однорідного підстановкою
,
(*)
де константи h та k добираються так , що
,
.
Тепер
(2.2.6)
приймає вид (
,
):
,
(2.2.7)
а це вже однорідне д.р.
Наприклад
:
(2.2. 8)
Робимо підстановку (*) і знаходимо h та k з системи
,
.
Маємо
: h=1
, k=2
; отже
=x+1
,
=y+2
, а (2.2. 8) приймає вид
(2.2.
9)
Далі робимо звичну для однорідного д.р. підстановку
u=
,
=
,
=
,
а після інтегрування :
=
,
=С
,
і остаточно , згадуючи, що
=x+1
,
=y+2
, отримаємо :
.
Якщо в (2.2.6) при = ,
то
(2.2.6) зводиться до (2.1.9) .Робимо підстановку
.Так
як
,
то
і маємо :
.
Наприклад :
(x+y+1)dx
+(2x+2y-1)dy=0 ,
,
x+y=z
,
,
,
,
.
Підставивши z=x+y , отримаємо загальний інтеграл даного д.р. :
Відповідь:
.