Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Государственный университет управления»

Институт	Информационных систем
Кафедра	Информационных систем

Курсовая работа

по дисциплине	«Теория вероятности и математическая статистика»
«Проверка гипотезы о нормальном законе распределения по критерию согласия Колмогорова»
Направление подготовки	38.03.05		Бизнес-информатика
Образовательная программа	Бизнес-информатика
Обучающийся
2 курс	форма обучения		Очная
Руководитель работы

Оценка:
Подпись руководителя:
Дата защиты:	«___» _____________20___г.

Москва – 2019

Оглавление

Оглавление 2

Раздел 1 3

Введение 3

Задача 1 5

Задача 2 8

Задача 3 10

Задача 4 12

Раздел 3 16

Задача 1 16

Раздел 4 18

Вывод 18

Список литературы 19

Раздел 1

Введение

Одной из наиболее актуальных задач математической статистики считается выявление истинного закона распределения случайной величины. На практике исследователи изучают закономерности признака по экспериментальным данным, организованным в виде вариационного ряда.

Предположение о виде закона распределения обычно основывается на теоретических разработках, на результатах предыдущих исследований, на графическом представлении выборочных данных. В качестве параметров распределения, как правило, рассматриваются наилучшие выборочные оценки. [1]

Статистической гипотезой называется предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения. Среди статистических предположений выделяют простые и сложные гипотезы. Статистическая гипотеза признается простой в случае, если полностью определяет теоретическую функцию распределения.

Проверяемую гипотезу заявляют, как нулевую, и обозначают Н₀. Альтернативная (конкурирующая) гипотеза обозначается Н₁. Указанные гипотезы означают две возможности выбора в статистических задачах.

Тщательный подбор вида закона распределения и его параметров не дает полной гарантии того, что установлен истинный закон распределения выборочных данных. Между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Эти расхождения могут носить случайный характер, являться незначимыми, или же могут быть существенными, указывающими на то, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Критерии, устанавливающие закон распределения, называются критериями согласия – критериями проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Рассмотрим критерий согласия А.Н. Колмогорова.

Пусть задана некоторая непрерывная случайная величина Х, относительно которой выдвигается гипотеза о законе распределения. Поскольку предполагается, что Х распределена по определенному закону, становится известной теоретическая функция распределения F(x). Статистикой критерия Колмогорова является максимальное значение абсолютной величины разности между выборочной функцией распределения F^*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x):

.

А.Н. Колмогоров доказал существование предела при неограниченном увеличении числа наблюдений вероятности того, что величина принимает значение не меньше некоторого числа λ:

.

Задавая уровень значимости α, можно определить соответствующее критическое значение λ_α из следующего соотношения:

.

Некоторые критические значения критерия Колмогорова приведены в таблице 1.

Таблица 1

Уровень значимости α	Критическое значение λα	Уровень значимости α	Критическое значение λα
0,4	0,89	0,025	1,48
0,3	0,97	0,01	1,63
0,2	1,07	0,005	1,73
0,1	1,22	0,001	1,95
0,05	1,36	0,0005	2,03

Реализация критерия при решении практических задач происходит следующим образом:

• конструируется выборочная функция распределения F^*(x) и предполагаемая теоретическая функция распределения F(x);

• графически или аналитически определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями;

• вычисляется величина ;

• если найденное значение λ окажется больше критического значения λ_α, нулевая гипотеза Н₀ о том, что случайная величина Х имеет означенный закон распределения, отвергается; если найденное значение λ окажется меньше критического значения λ_α, считается, что Н₀ не противоречит выборочным данным. [2]

Ошибки первого и второго рода.

Проверка статистической гипотезы означает проверку согласования исходных выборочных данных с выдвинутой основной гипотезой. При этом возможно возникновение двух ситуаций – основная гипотеза может подтвердиться, а может и быть опровергнута. Следовательно, при проверке статистических гипотез существует вероятность допустить ошибку, приняв или опровергнув верную гипотезу.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута нулевая гипотеза, хотя на самом деле она верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза, хотя в действительности верна конкурирующая.

Таким образом, возможны четыре варианта развития событий (таблица 2).

Таблица 2

Гипотеза Н0	Принимается	Отвергается
Верна	Правильное решение	Ошибка первого рода
Неверна	Ошибка второго рода	Правильное решение

Вероятность α допустить ошибку первого рода, то есть отвергнуть гипотезу Н₀, когда она верна, называется уровнем значимости или размером критерия. Вероятность допустить ошибку второго рода, то есть принять гипотезу Н₀, когда она неверна, в специальной литературе обозначается β. Вероятность (1-β), то есть вероятность не допустить ошибку второго рода, называется мощностью критерия.