2. Определение поверхности нагрева теплообменного аппарата. Средняя разность температур

Рассмотрим случай определения поверхности нагрева аппарата для параллельного тока жидкостей, изменение температур которых по их ходу в аппарате представлено на рис. 9. Если поверхность аппарата F м², а коэффициент теплопередачи, который мы примем одинаковым для всей поверхности, k, то количество тепла, которым обмениваются обе жидкости, составит:

Q = kF∆t_ср; (5)

здесь ∆t_ср - средняя разность температур рабочих тел.

Рис.9. Изменение темпе­ратур в тепло-обменном аппа­рате при параллельном токе.

Эту среднюю разность можно представить себе как раз­ность между средними температурами первой и второй жид­костей, определяемыми как средние арифметиче­ские. Тогда средняя разность температур для всего про­цесса в аппарате составляет:

(6)

Вычисленная таким образом средняя разность темпера­тур была бы правильной в том случае, если бы изменение температур каждой из жидко­стей было линейным. Тогда найденные значения t'_cp и t’'_cp были бы действительно средними значениями для каждой из жидкостей и ∆t_cp была бы средней разностью температур. Так как, однако, температура каждой из жидкостей меняется по более сложному закону, то значе­ние ∆t_cp, определяемое по фор­муле (6), может сильно отли­чаться от действительного.

Для вычисления ∆t_cp при нелинейном изменении нелинейном изменении температуры каждой из жидкостей рассмотрим такой бес­конечно малый элемент поверхности dF теплообменного ап­парата, в пределах которого значения температур каждой из жидкостей, можно считать постоянными; пусть для пер­вой это будет t¹, для второй t". Разность между ними со­ставит:

(а)

а бесконечно малое количество тепла, которым обмениваются первая и вторая жидкости на этом участке поверхности,

dQ = kτdF. (б)

При этом температура первой жидкости изменится на dt' (уменьшится), а второй - на dt" (увеличится). Если обозначить количество протекающей первой жидкости М¹' и ее теплоемкость с', то

dQ = - M'c’ dt' (в)

(знак минус взят потому, что температура первой жидкости падает и dt' - величина отрицательная). Для второй жидкости аналогично

dQ = M"c"dt" (г)

Для того чтобы проинтегрировать уравнение (б), выра­зим в нем dQ через dτ для этого продифференцируем урав­нение (а) и подставим в него значения dt' и dt’’ из уравне­ния (в) и (г); получаем:

dt' - dt" = dτ. (д)

Из уравнений (в) и (г)

и

После подстановки в (д) получаем:

откуда

Обозначив

получим:

Подставляя найденное значение dQ в уравнение (б),получаем дифференциальное уравнение

После разделения переменных имеем:

Пределами при интегрировании будут разность температур в начале поверхности нагрева, которую обозначим τ₁, и разность температур в ее конце τ₂; отсюда при k = const

(ж)

Проинтегрируем теперь уравнение (е); получаем:

После подстановки в полученное уравнение значения μ из (ж) выражение для Q примет вид:

Так как, с другой стороны, по (5)

то

(3)

здесь τ₁ - разность температур обеих жидкостей на одном конце теплообменного аппарата, τ₁= - она обозначается: ∆t₁ = - , τ₂ - разность температур на другом конце поверхности нагрева, τ₂ = - ; она обозначается: ∆t₂ = - .

Подставляя эти обозначения в (3), находим окончательную формулу для вычисления средней логарифмической разности температур:

(7)

Чтобы в числителе и знаменателе получились положи тельные числа, удобно за ∆t₁ принимать большую из обеих разностей, а за ∆t₂ - меньшую. В расчетах всегда для одних и тех же температур средняя логарифмическая раз­ность оказывается меньше, чем средняя арифметическая.

Аналогичные выкладки для случая противотока дают туже формулу (7), причем по-прежнему ∆t₁ берется для одного конца аппарата, а ∆t₂ - для другого. Формула (7) применима также и для случая теплообмена, изображенного на рис. 7. При этом для одних и тех же температур всегда для противотока ∆t_ср больше, чем для параллельного тока.

В некоторых случаях (как, например, в представленном на рис. 8) по всей поверхности аппарата обе жидкости имеют одну и ту же разность температур, тогда эта одина­ковая по всей поверхности разность температур и будет ∆t_ср.

Определив описанным способом ∆t_ср и найдя по эмпирическим формулам коэффициент теплопередачи k, легко определить требуемую поверхность теплообменного аппарата по формуле (5), если известно количество тепла, которыми обмениваются жидкости,

.