1.3. Потоки випадкових подій

Потоком випадкових подій називається послідовність однорідних подій, які наступають у випадкові моменти часу, слідуючи одна за одною. Серед властивостей, які притаманні потокам, найбільш важливими є властивості стаціонарності, відсутності післядії і ординарності.

1. Випадковий потік називається стаціонарним, якщо для будь-якої послідовності скінченого числа інтервалів, які не перетинаються, імовірність появи в них певної кількості подій залежить лише від довжини цих інтервалів. Це означає, що для будь-якої кількості подій k і будь-яких інтервалів часу однакової довжини (T, T+t) і для ймовірностей появи подій у цих проміжках виконується рівність:

2. Потік називається потоком без післядії, якщо ймовірність настання k подій потоку протягом проміжку часу (T, T+t) не залежить від того, скільки подій і як вони наступали до цього проміжку. Це означає, що умовні ймовірності настання k подій на довільному проміжку часу (T, T+t), обчислені при різних припущеннях про розподіл моментів настання подій до моменту Т, співпадають з безумовною ймовірністю P_k( t). Таким чином передісторія потоку не відбивається на ймовірності появи події у близькому майбутньому, тобто це означає внутрішню незалежність потоку. Потоки без післядії називаються процесами Маркова.

Для стаціонарного потоку без післядії із формули повної ймовірності випливає співвідношення

3. Потік називається ординарним, якщо поява двох або більше подій за малий проміжок часу практично неможлива:

де o(t) при означає нескінченно малу величину, порядку вищого ніж t.

Потік подій, який має властивості стаціонарності, відсутності післядії і ординарності називається найпростішим або стаціонарним пуассонівським потоком.

Основною характеристикою випадкового потоку подій є його інтенсивність. Інтенсивністю потоку  називається середня кількість подій, які відбуваються в одиницю часу.

Встановлено, що якщо інтенсивність потоку  відома, то ймовірність появи k подій найпростішого потоку за час тривалістю t визначається за формулою Пуассона.

Це і є знаменитий розподіл Пуассона, який визначає ймовірність того, що за час t відбудеться рівно k подій найпростішого потоку (стаціонарного пуассонівського потоку).

Математичне сподівання і дисперсія розподілу Пуассона дорівнюють Отже середнє значення і дисперсія розподілу Пуассона однакові і дорівнюють

Величину можна інтерпретувати як імовірність того, що час зміни стану потоку T більше ніж t:

.

Навпаки, імовірність того, що час чекання зміни дорівнює або менше t, складе

.

Імовірнісною характеристикою випадкового потоку подій є закон розподілу проміжків часу між послідовними подіями потоку, який виражається функцією розподілу

і щільністю розподілу

f(t)= e^–t , t > 0

Цей розподіл називають експоненціальним або показниковим, а величину  – параметром розподілу.

Отже, якщо число подій потоку розподілене за законом Пуассона, то проміжки часу між подіями потоку мають експоненціальний розподіл.

Математичне сподівання і дисперсія величини Т, розподіленої за експоненціальним законом дорівнюють:

Отже, середнє значення і середнє квадратичне відхилення експоненціального розподілу однакові і дорівнюють

Будемо надалі розглядати процес Пуасссона як модель потоку заявок, які надходять у СМО.