1.2. Процес народження і загибелі

Найбільш простим випадком марковського процесу є, так званий, процес народження і загибелі, за допомогою якого здійснюється моделювання випадкових процесів у системах масового обслуговування. Він визначається як частинний випадок неперервних марковських ланцюгів, для яких допустимі переходи із стану тільки у сусідні стани , . Такий процес є прекрасною моделлю для класичної теорії масового обслуговування і служить відправною точкою для вивчення СМО. Спочатку процес народження і загибелі був використаний як адекватна модель для описання змін, які відбуваються у об’ємі популяції. Говорять, що процес знаходиться у стані S_i, якщо об’єм популяції дорівнює і. Перехід із стану у стан відповідає народженню, а перехід із у – загибелі.

Представимо, що система, яка нас цікавить, може знаходитись в одному із можливих станів S₀, S₁,…, S_n. Позначимо через _і інтенсивність народження. Вона описує швидкість, з якою відбувається народження у популяції обсягу і. Аналогічно через _і позначимо інтенсивність загибелі, яка визначає швидкість загибелі у популяції обсягу і.

У відповідності до раніш введених позначень маємо:

Діаграма інтенсивностей переходів для процесу народження і загибелі має такий вигляд:

Рис. 1.4. Діаграма інтенсивностей переходів системи

Розглянемо еволюцію процесу, тобто розглянемо зміни об’єму популяції у проміжку часу . Перехідні ймовірності процесу визначаються наступним чином:

Позначимо через імовірність того, що в момент часу t процес буде знаходитися у стані i. Використовуючи ймовірності переходу процесу за малий проміжок часу , одержимо систему рівнянь

Гранична рівність при має вигляд

.

Перенесемо із правої частини рівнянь у ліву і поділимо рівняння на Переходячи до границі при , у лівих частинах рівностей одержуємо похідні від по t, а члени прямують до нуля. Остаточно одержимо систему диференціально-різницевих рівнянь, які описують динаміку розглядуваного імовірнісного процесу:

Для розв’язання одержаної системи рівнянь у нестаціонарному випадку, коли ймовірності залежать від часу, треба також задати початкові умови Крім цього повинна виконуватись умова нормування ймовірностей

У стаціонарному режимі при t і система диференціальних рівнянь зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь

з нормуючою умовою

Із одержаних рівнянь послідовно одержуємо

,

або у загальному вигляді:

Підставляючи p_і у нормуючий вираз, одержимо

Таким чином, знайдені стаціонарні ймовірності для процесу народження і загибелі. Якщо покласти

то такий процес буде описувати класичну одноканальну СМО.

Позначаючи , одержимо відповідні ймовірності станів смо

_де

Із останньої формули видно, що умова  < 1 гарантує виконання нерівності p₀ > 0. Остаточно маємо:

Приклад 1.3. Знайдемо граничні ймовірності станів ^Т для процесу народження і загибелі, інтенсивності переходів якого дорівнюють

Розв’язання. Маємо

Далі одержуємо стаціонарні ймовірності станів p_i для i=1, 2,:

де р – вектор стаціонарного розподілу ймовірностей станів.

Сума ймовірностей станів системи дорівнює 1, отже умова нормування ймовірностей виконується.