3.3. Оптимізація смо за критерієм мінімуму економічних втрат від відмов в обслуговуванні

Системі обслуговування має n каналів і місць для чекання автомобілів у черзі. Нехай вартість експлуатації одного каналу в одиницю часу складає ум. гр. од., тоді поточні витрати на функціонування системи в одиницю часу складатимуть грн. Якщо середня кількість незайняттих каналів (каналів, що простоюють) дорівнює , то частка поточних витрат ум. гр. од. витрачається непродуктивно.

Введемо величину – оцінку часу перебування однієї заявки у черзі. Тоді сукупні втрати від чекання заявок у черзі складуть , де – середній час чекання заявки початку обслуговування.

Якщо доход від обслуговування однієї заявки дорівнює , то втрати, пов'язані з відмовами заявок пройти обслуговування через відсутність вільних місць для чекання, складуть . Таким чином, сукупні втрати системи обслуговування дорівнюють

(3.2)

де частка поточних витрат, що витрачається непродуктивно у наслідок простою каналів обслуговування, де середня кількість вільних каналів;

сукупні втрати від чекання заявок у черзі, де оцінка часу перебування однієї заявки у черзі, середній час чекання заявки у черзі;

втрати, пов'язані з відмовами заявок пройти обслуговування через відсутність вільних місць для чекання (втрачений доход), де доход від обслуговування однієї заявки, інтенсивність вхідного потоку заявок, імовірність відмови від обслуговування.

При відомих значеннях задача звичайно зводиться до визначення величин n або m, які мінімізують втрати СМО Розглянемо алгоритм розв’язання даної задачі для пошуку оптимального значення кількості обслуговуючих приладів при відомих параметрах

Приклад 3.2. Автозаправна станція (АЗС) має колонок. Спостереження показали, що на неї у середньому надходить 1 автомобіль у хв. Потік надходжень автомобілів – найпростіший (пуассонівський). Тривалість заправки – експоненціально розподілена випадкова величина із середнім значенням хв.

Біля АЗС є майданчик для чекання машин, на якому у черзі може знаходитись одночасно не більше автомобілів. Якщо усі місця зайняті, то прибувший для заправки автомобіль не затримується і покидає АЗС без обслуговування.

Визначити оптимальну кількість заправних колонок на АЗС і дати ймовірнісну і економічну оцінку СМО за критерієм мінімуму економічних втрат.

Розв’язання. Дана система є СМО з чергою, обмеженою кількістю місць для чекання. За одиницю часу приймемо годину. Імовірності станів системи визначаються за програмою Smo_2. Пошук точки екстремуму , при якій цільова функція набуває максимального значення здійснюємо за програмою Optim_2. Розрахунки зробимо для двох варіантів вхідних даних.

Програма оптимізації Optim_2

Результати роботи програми Optim_2:

вектор значень цільової функції;

мінімальне значення

оптимальне значення числа каналів обслуговування.

Варіант 1. Вхідні дані:

_{Масив значень цільової функції}

_{Мінімальне значення цільової функції (витрат)}

Мінімальна кількість каналів заправних колонок

Операційні характеристики оптимальної СМО за першим варіантом вхідних даних:

Імовірності станів:

1. . Це означає, що у АЗС практично весь час на заправці або на майданчику для чекання знаходяться автомобілі (час їх відсутності складає менше 0,5% часу роботи АЗС) тобто АЗС весь час практично зайнята.

_{2. Відносна і абсолютна пропускні здатності СМО}

_{3. Імовірність відмови від обслуговування}

_{4. Середня кількість зайнятих заправних колонок}

_або

5. Середня кількість незайнятих заправних колонок

6. Середня довжина черги автомобілів

_{7. Середня кількість автомобілів на АЗС}

_{8. Середній час чекання автомобіля у черзі}

_{9. Середній час перебування автомобіля на АЗС}

_{Середні витрати від простою заправних колонок, автомобілів у черзі і втрачений прибуток від відмови в обслуговуванні автомобілів}

Варіант 2

Рис 3.2. Графік цільових функцій для двох

варіантів вхідних даних

Проаналізуємо функціональні характеристики СМО за першим варіантом вхідних даних, коли АЗС має 4 заправних колонки.

1. . Це означає, що у АЗС практично весь час на заправці або на майданчику для чекання знаходяться автомобілі (час їх відсутності складає менше 0,5% часу роботи АЗС) тобто АЗС практично весь час зайнята.

2. . Це свідчить, що майже 5,5% усіх прибуваючих на АЗС автомобілів, одержують відмову і змушені шукати іншу АЗС, щоб заправитись пальним.

3. означає, що кількість автомобілів, яку здатна обслужити АЗС, складає 56,7 одиниць із 60.

4. означає, що майже усі 4 колонки постійно зайняті.

5. означає, що в середньому 66% (6,6 / 10) 100) місць для чекання зайняті.

6. Значення свідчать, що через чекання у черзі на заправку і перебування автомобіля на АЗС, витрачається досить помітний час.

Таким чином, аналізуючи ймовірнісні характеристики роботи АЗС, можна зробити висновок, що її режим роботи не досить інтенсивний і вона вчасно не справляється з обслуговуванням майже 5,5% прибуваючих на заправку автомобілів.

_{Приклад 3.3. Розглянемо службу замовлень таксі по телефону. Замовлення приймають декілька операторів. Якщо усі вони зайняті, клієнт одержує відмову в обслуговуванні і звертається у конкуруючу фірму (у припущенні, що така є).}

Нехай середній час оформлення одного замовлення складає 2 хв., а середня кількість звернень у службу замовлень дорівнює 60 замовленням на годину.

Приймемо такі економічні показники роботи служби замовлень: час роботи годин; вартість роботи одного оператора у годину складає 10 грн.; втрата прибутку від відмови в обслуговуванні одного клієнта дорівнює 20 грн.

Визначимо оптимальну кількість операторів за критерієм мінімуму втрат з урахуванням втрат від простоювання каналів обслуговування і втрат від відмов в обслуговуванні (втрат очікуваного прибутку).

Розв'язання. Розглядувана система відноситься до СМО з відмовами. Але зважаючи на те, що практично клієнти деякий час повторюють свої замовлення, то можна вважати, що дана СМО не є чисто СМО з відмовами. Будемо розглядати її як СМО з обмеженим часом чекання. Таким чином, кількість втрачених заявок буде залежати як від кількості каналів обслуговування, так і від часу чекання початку обслуговування. Покладемо час чекання Максимальну довжину черги, яка утворюється у результаті чекання у черзі, позначимо через r.

Розрахунки ймовірностей станів СМО проводимо по програмі Smo_3. Оптимізацію кількості каналів обслуговування (операторів) без врахування втрат від чекання клієнтів здійснюємо по програмі Optim_2 за критерієм

, (3.3)

де – кількість незайнятих операторів (каналів обслуговування, які простоюють); – кількість заявок, які покидають чергу.

Алгоритм у Mathcad

Параметри СМО:

С₁ := 10 C₃ := 20 t := 18

1.Імовірності станів СМО для оптимальної кількості операторів:

_{2. Максимальна довжина черги:}

Приймемо максимально можливу кількість операторів і знайдемо їх оптимальну кількість застосовуючи перебірний алгоритм оптимізації, у якому їх можлива кількість

Графік цільової функції для кількості операторів

Рис 3.2. Графік цільової функції

Операційні характеристики оптимальної СМО:

1. Кількість зайнятих операторів

_{2. Довжина черги на обслуговування}

_{3. Кількість заявок у системі обслуговування}

_{4. Середній час чекання у черзі}

_{5. Середній час перебування заявки у системі обслуговування}

_{6. Імовірність відмови клієнта в обслуговуванні}

_{7. Коефіцієнт завантаженості операторів}

Одержані результати показують, що у оптимальному варіанті тільки 0,01% клієнтів одержують відмову в обслуговуванні , біля 11% ( , тобто біля 6,6 хв. усі три оператори вільні одночасно. Усі три оператори одночасно зайняті 15 % усього робочого часу, тобто біля 8,9 хв. Середня кількість зайнятих операторів Коефіцієнт завантаження операторів v_k=0,66. Отже, у оптимальному варіанті кожний із операторів зайнятий лише 66 % свого робочого часу.

Завдання для лабораторної роботи №2

У перукарні для обслуговування клієнтів є 4 крісла. В середньому до перукарні надходить клієнтів у годину. Потік надходжень клієнтів пуассонівський. Тривалість обслуговування одного клієнта – експоненціально розподілена випадкова величина із середнім значенням хв.

У холі перукарні є 5 крісел для чекання клієнтів. Якщо усі крісла зайняті, то прибувший у перукарню клієнт не затримується і покидає її не обслуженим.

У залі обслуговування та чекання є вільні площі, на яких відповідно можна встановити крісел для обслуговування клієнтів, або крісел для чекання.

Вартісні показники роботи перукарні як СМО з чеканням характеризуються такими параметрами:

витрати, пов’язані з обслуговуванням одного клієнта (каналу обслуговування);

втрати, пов’язані з чеканням одного клієнта у черзі;

доход від обслуговування одного клієнта.

Визначити:

 функціональні характеристики СМО;

 розрахувати економічну ефективність СМО за критерієм мінімуму витрат.

 проаналізувати обидва варіанти реконструкції перукарні і дати їх економічну оцінку за критерієм мінімуму економічних втрат з урахуванням відмов від обслуговування.

Значення вартісних показників: грн., грн., грн. Час роботи перукарні годин.

Таблиця 3.2

Вхідні дані по варіантах завдань

Номер варіанту	n				Номер варіанту	n
1	4	5	12	20	16	4	6	12	20
2	3	6	10	22	17	3	4	10	22
3	2	4	11	18	18	2	5	8	25
4	4	5	14	15	19	4	7	15	24
5	2	7	12	15	20	2	6	8	22
6	3	6	15	18	21	3	5	12	20
7	4	12	12	25	22	4	8	10	18
8	3	8	15	20	23	3	10	10	18
9	2	4	12	20	24	4	9	12	25
10	4	10	13	18	25	2	8	15	20
11	2	8	14	20	26	4	10	14	24
12	3	8	12	22	27	2	5	12	20
13	4	12	15	24	28	3	8	1,0	2,5
14	3	5	12	20	29	4	16	1,0	2,0
15	4	12	15	22	30	3	12	1,2	3,0