Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный транспортный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналіз_ СМО.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

2.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

2.2. Система масового обслуговування з довільним розподілом часу обслуговування

Існує велика кількість СМО які не описуються моделями пуассонівського типу. До них відносяться багатофазні СМО, СМО з пріоритетами, СМО з довільним (не експоненціальним) розподілом імовірностей часу надходження та обслуговування заявок тощо, тобто вхідні і вихідні потоки не є пуассонівськими. Ці моделі мають багато аналогів у реальних системах обслуговування, зокрема у транспортних системах.

Аналіз моделей СМО, у яких вхідні і вихідні потоки не підкоряються пуассонівському розподілу, є складним. У таких випадках для моделювання СМО застосовуються вкладені ланцюги Маркова. Їх застосування до аналізу моделі з довільним розподілом часу обслуговування грунтується на можливості спостереження за змінами станів обслуговуючої системи в моменти вибуття із неї реалізованих заявок. Елементи матриці переходів при цьому інтерпретуються як імовірності того, що в інтервалі, початкова точка якого відповідає початку обслуговування, а кінцева точка – завершенню цієї процедури, у систему надійде деяка задана кількість заявок.

Ефективність використання такого підходу для аналізу процесів масового обслуговування обумовлена тим, що вдається описати будь-який із згаданих вище процесів за допомогою дискретного ланцюга Маркова навіть і у тому випадку, коли досліджувана система не є марковською.

Розглянемо один із випадків СМО, яка не підкоряється пуассонівському розподілу, для якого одержані аналітичні результати. Мова йде про випадок, коли час обслуговування заявок має довільний розподіл.

Математична модель. Розглянемо одноканальну СМО, яка характеризується наступними параметрами

вхідний потік є пуассонівським з інтенсивністю ;
розподіл тривалостей обслуговування є довільним з середнім значенням і дисперсією ;
виконуються умови стаціонарності при

Друга умова цілковито змінює структуру аналізу даної СМО у порівнянні з випадком, коли вхідний і вихідний потоки є пуассонівськими. У цьому випадку виведення формул для ймовірностей станів суттєво ускладнюється і потребує застосування теорії вкладених ланцюгів Маркова. У даному розділі наведемо формули, які визначають найбільш важливі характеристики СМО.

Отже, нехай інтенсивність вхідного потоку заявок на обслуговування дорівнює . Розподіл часу обслуговування є довільним з середнім значенням і дисперсією .

Позначимо через другий момент розподілу часу обслуговування. Тоді дисперсію часу обслуговування можна представити у вигляді

Позначимо також через коефіцієнт використання обслуговуючих пристроїв. При заданих значеннях і умові середня кількість заявок у системі обслуговування в момент уходу обслуженої заявки виражається формулою

Ця формула виражає середню довжину черги в момент уходу обслуженої заявки через відомі величини, а саме через коефіцієнт використання , інтенсивність вхідного потоку і другий момент часу обслуговування . Перепишемо цю формулу, вводячи нормовану дисперсію часу обслуговування ( коефіцієнт варіації). Заміняючи їх виразами, одержимо

Цей вираз представляє собою відому формулу для середнього числа заявок у системі з довільним розподілом часу обслуговування, яку називають формулою Поллачека-Хінчина для середнього значення.

Підкреслимо, що середнє значення залежить тільки від перших двох моментів розподілу часу обслуговування Крім того, зауважимо, що зростає лінійно із зростанням дисперсії часу обслуговування (або з квадратом його коефіцієнта варіації).

Формула Поллачека-Хінчина дозволяє знайти середню кількість заявок у системі в моменти уходу обслуженої заявки. Однак, вона також дозволяє знайти і середню кількість заявок і в моменти їх надходження і у будь-які інші моменти часу.

Знайдемо тепер зв’язок між середньою кількістю заявок у системі і середньою кількістю заявок у черзі . За визначенням середня кількість заявок у системі дорівнює математичному сподіванню

де – ймовірність того, що у системі знаходиться k заявок.

Довжина черги на одиницю менше кількості заявок у системі, якщо система не пуста, тому

або

Але друга сума дорівнює , і ми приходимо до рівності

У якості прикладу застосування формули Поллачека-Хінчина розглянемо одноканальну систему з пуассонівським вхідним і вихідним потоком заявок. Для такої системи

Із формули Поллачека-Хінчина можна одержати інші функціональні характеристики СМО.

1. Середня кількість заявок у черги (довжина черги)

2. Середній час, проведений заявкою у системі

3. Середній час перебування заявки у черзі

Приклад 2.11. Припустимо, що на автомобільній мийці мийка автомобіля здійснюється автоматичним пристроєм, і тривалість мийки автомобіля в середньому займає = 10 хв. Вхідний потік є пуассонівським з інтенсивністю автомобілів на годину. Розподіл тривалостей обслуговування є довільним з середнім значенням і дисперсією . Виконуються умови стаціонарності .

Визначимо операційні характеристики даної СМО.

Розв'язання. Оскільки середня тривалість обслуговування є постійною, маємо , а дисперсія . Таким чином маємо СМО з параметрами:

Алгоритм розрахунку операційних характеристик СМО:

1. Середня кількість заявок у системі

_{2. Довжина черги}

_{3.Середній час перебування заявки у
системі (год.)}

4. Середній час перебування заявки у черзі (год.)

Порівняємо ці характеристики з аналогічними характеристиками для пуассонівської СМО, тобто для СМО, у якій вхідний і вихідний потоки заявок розподілені за законом Пуассона з параметрами і (система M/M/1). Зробимо розрахунки відповідних характеристик цієї СМО.

Параметри СМО

Операційні характеристики СМО:

1. Середня кількість заявок у системі

_{2. Довжина черги}

_{3.Середній час перебування заявки у
системі (год.)}

4. Середній час перебування заявки у черзі (год.)

Порівнюючи ці результати, відмітимо, що не дивлячись на те, що як інтенсивність надходження заявок, так і інтенсивність обслуговування у даній системі такі ж, як і в пуассонівській ( автомобілів на годину), середній час чекання у першому випадку менший – год., оскільки час обслуговування є постійним, у пуассонівській – .

Одержані результати є цілком логічними, оскільки у випадку, коли тривалості обслуговування заявок однакові і фіксовані, режим функціонування СМО характеризується більшою визначеністю, що призводить до зменшення значень

Завдання для лабораторної роботи №7

У довідкову комп’ютерну систему надходять запити від клієнтів, термін обробки яких в середньому складає хв. Вхідний потік є пуассонівським з інтенсивністю запитів на годину. Розподіл імовірностей термінів обслуговування є довільним з середнім значенням і дисперсією . Виконуються умови стаціонарності .

Визначити основні операційні характеристики даної СМО і пуассонівської СМО та порівняти їх із відповідними характеристиками пуассонівської СМО.

Таблиця 2.9

Вхідні дані по варіантах завдань

_Номер _{варіанту}			_Номер _{варіанту}
₁	₃₅	₁_,5	₁₆	₄₀	_1,3
₂	₄₅	_1,3	₁₇	₄₂	_1,4
₃	₄₀	_1,3	₁₈	₄₂	_1,3
₄	₃₅	_1,6	₁₉	₄₄	_1,2
₅	₃₀	_1,9	₂₀	₃₈	_1,5
₆	₃₄	_1,7	₂₁	₃₈	_1,4
₇	₃₀	_1,9	₂₂	₄₄	_1,3
₈	₄₂	_1,4	₂₃	₄₅	_1,3
₉	₄₄	_1,3	₂₄	₃₇	_1,6
₁₀	₄₈	_1,2	₂₅	₃₅	_1,7
₁₁	₃₅	_1,7	₂₆	₃₅	_1,5
₁₂	₄₁	_1,4	₂₇	₃₉	_1,5
₁₃	₄₂	_1,4	₂₈	₃₂	_1,8
₁₄	₄₀	_1,4	₂₉	₃₀	_1,9
₁₅	₃₆	_1,6	₃₀	₄₃	_1,3

Контрольні запитання

1. Що таке системи масового обслуговування (СМО). Дати загальну характеристику СМО. За якими характеристиками класифікуються СМО. Навести приклади моделей СМО, які описують реальні процеси обслуговування.

2. Навести функціональні характеристики ефективності СМО.

3. Дати визначення СМО з втратами. Привести діаграму інтенсивностей переходів для СМО з втратами.

4. Дати визначення абсолютної і відносної пропускної спроможності.

5. Навести основні операційні характеристики СМО в залежності від їх типів.

6. У чому полягають задачі оптимізації СМО і які економічні критерії характеризують їх ефективність. Які існують моделі СМО з вартісними характеристиками.

7. Навести приклади задач управління, пов’язані з прийняттям рішень з використанням моделей масового обслуговування.

8. Скласти систему алгебраїчних рівнянь для стаціонарних ймовірностей станів СМО з втратами, використовуючи діаграму інтенсивностей переходів.

9. Навести формули для ймовірностей станів СМО з втратами.

10. Якими характеристиками визначається ефективність СМО з втратами.

11. Дати визначення СМО з чергою. Привести діаграму інтенсивностей переходів для СМО з чергою.

12. Скласти систему алгебраїчних рівнянь для стаціонарних ймовірностей станів СМО з чергою, обмеженою кількістю місць у черзі, використовуючи діаграму інтенсивностей переходів.

13. Навести формули для ймовірностей станів n-канальної СМО з чергою, обмеженою кількістю місць у черзі.

14. Який вигляд мають формули для ймовірностей станів одноканальної СМО з чергою.

15. Якими операційними характеристиками визначається ефективність СМО з чергою.

16. Дати характеристику СМО з чергою, обмеженою часом чекання.

17. Навести формули для ймовірностей станів СМО з чергою, обмеженою часом чекання.

18. Дати означення замкнутої СМО. Привести діаграму інтенсивностей переходів у замкнутої СМО.

19. Яку структуру має замкнута СМО і якими параметрами вона описується.

20. Який вигляд має система алгебраїчних рівнянь для стаціонарних імовірностей станів замкнутої СМО.

21. Навести формули для ймовірностей станів замкнутої СМО.

22. Якими операційними характеристиками визначається ефективність замкнутої СМО.

23. Привести схему і алгоритм у Mathcad обчислення ймовірностей станів замкнутої СМО.

24. У чому полягає основна особливість непуассонівських СМО, якими розподілами ймовірностей описуються вхідні і вихідні потоки у СМО.

25. Навести формулу Поллачека-Хінчина і дати її характеристику.

Задачі для самостійної роботи

2.1. В кафетерії є можливість забезпечення місцями не більше 50 чоловік. Відвідувачі прибувають у відповідності з розподілом Пуассона з середньою частотою =10 чоловік/годин. Середня швидкість обслуговування дорівнює 12 чоловік/годин.

● яка ймовірність того, що черговий відвідувач не зможе пообідати у цьому кафетерії із-за відсутності вільних місць;

● яка ймовірність того, що у кафетерії знайдеться 3 вільних місця.

2.2. Розглядається СМО з двома каналами обслуговування. Середня тривалість обслуговування одного клієнта дорівнює 5 хв., а середня довжина інтервалів між послідовними надходженнями клієнтів на обслуговування складає

Треба обчислити:

● імовірність втрати клієнта із-за відмови у обслуговуванні;

● імовірність того, що хоча б один із обслуговуючих каналів буде незавантаженим;

● імовірність того, що незавантаженими будуть обидва канали.

2.3. На стоянці автомобілів є всього 10 місць. Автомобілі прибувають на стоянку у відповідності з пуассонівським розподілом ймовірностей з параметром =10 автомобілів на годину. Тривалість перебування автомобілів на стоянці розподілена експоненціально з середнім значенням, рівним μ=10 на хв. Треба обчислити:

● середню кількість місць, не зайнятих автомобілями;

● імовірність того, що автомобіль не знайде на стоянці вільного місця;

● відносну пропускну здатність стоянки.

2.4. У системі самообслуговування вхідний потік заявок є пуассонівським з інтенсивністю λ=50 заявок на годину. Тривалість обслуговуванні однієї заявки розподілена експоненціально з параметром .

● обчислити середнє число заявок, які знаходяться на обслуговування у довільно вибраний момент часу;

● визначити частку часу, протягом якого обслуговуюча система простоює (не має завантаження).

2.5. Автомобілі надходять на станцію технічного обслуговування у відповідності з розподілом Пуассона з інтенсивністю автомобілів на годину. Тривалість обслуговування автомобіля підпорядкована експоненціальному закону з середнім значенням, рівним хв. Станція одночасно може обслуговувати тільки один автомобіль. Черга автомобілів на обслуговування не обмежена. Система функціонує у стаціонарному режимі (приведена інтенсивність .

● визначити, яку кількість стоянок необхідно мати на станції для того, щоб забезпечити ефективне обслуговування клієнтів;

● скільки потрібно стоянок, щоб забезпечити одночасно стоянку 80% клієнтів, які прибувають на станцію;

● обчислити долю часу, протягом якого станція вимушено простоює

(імовірність того, що на станції не виявиться жодного автомобіля);

● середній час перебування автомобіля на станції технічного обслуговування.

Дані для розрахунків:

2.6. У невеликому місті функціонують дві служби таксі, які належать різним фірмам. Кожна із служб має по два автомобіля. Замовлення на обслуговування, згідно відомостям, які маються, розподілені між службами порівну. Виклики у диспетчерські відділи обох служб надходять в середньому з частотою 10 викликів на годину і розподілені за законом Пуассона. Середній час обслуговування одного клієнта складає 11,5 хв. і розподілений за експоненціальним законом.

Ці служби таксі були придбані фірмою “Автосервіс”. При роздільному використанні автомобілів службами, яким вони належали, коефіцієнт завантаження (приведена інтенсивність) = 0,958. Виникає питання про економічну доцільність централізації управління таксомоторним парком. Для аналізу ефективності використання автомобілів фірмою “Автосервіс” необхідно порівняти два варіанти, а саме: варіант з незалежними обслуговуючими системами (СМО з параметрами: n=2, 66 викликів на годину, μ=5,217 поїздок на годину, коефіцієнт завантаження = 0,95 і варіант з однією системою обслуговування (СМО з параметрами n = 4, = 20 викликів на годину, поїздок на годину, коефіцієнт завантаження =3,83. Для цього треба визначити:

● імовірності того, що замовлення клієнтом таксі буде виконане без затримки (імовірності _і );

● середній час чекання замовленого таксі .

2.7. У задачі оцінки наслідків створення єдиної служби таксі в умовах, викладених у прикладі 2.6, нова служба таксі розуміє важливість такого показника, як середній час чекання замовленого таксі. Припустимо, що нова служба таксі не має коштів для розширення парку автомобілів. Для того, щоб вирішити проблему усунення випадків з надто довгим чеканням клієнтами замовлених таксі, диспетчерська служба одержує інструкцію відмовляти клієнтам кожний раз, як тільки їх список перевищить 16. Наявність у списку 16 клієнтів еквівалентно наявності у системі 16+4=20 клієнтів, Оскільки число курсуючих за викликом таксі дорівнює 4. Таким чином, ми приходимо до моделі СМО з параметрами: Знайти:

● імовірність p₀того, що клієнту не доведеться чекати замовленого таксі;

● середнє число клієнтів у списку s;

● відносну пропускну здатність q;

● середній час чекання клієнтом замовленого таксі .

2.8. Кафе, розташоване біля автомагістралі, має прилавок, біля якого може зупинитись один автомобіль. За статистичними оцінками автомобілі під’їжджають до кафе у відповідності з пуассонівським розподілом імовірностей з середньою частотою 2 автомобіля за 5 хв. Під’їзна доріжка до кафе дозволяє стати у чергу 10 автомобілям. Для виконання замовлень клієнтів у середньому необхідно 1,5 хв., але взагалі, час обслуговування розподілений за експоненціальним законом. Треба обчислити:

● імовірність того, що біля кафе не виявиться жодного автомобіля;

● середнє число клієнтів, які чекають на обслуговування;

● середній час чекання від моменту прибуття клієнта до початку його обслуговування;

● імовірність того, що кількість прибувших до кафе автомобілів перевищить вміст під’їздної доріжки.

2.9. Покупці прибувають на автомобілях до ларька, у якому продаються прохолоджувальні напої, у відповідності з пуассонівським законом розподілу ймовірностей при середній частоті 10 чоловік на годину. Тривалості обслуговування покупців розподілені експоненціально з параметром Біля ларька є 3 місця для стоянки автомобілів. Інші, під’їжджаючи до ларька автомобілі, розташовуються там, де є вільні для стоянки місця в околі ларька.

Треба визначити:

● імовірність того, що прибувший до ларька покупець має можливість зайняти чергу на майданчику, відведеному для чекання;

● імовірність того, що прибувший покупець буде змушений чекати за межами майданчика, відведеного для автомобілів;

● середню довжину інтервалу часу, протягом якого покупець буде вимушений чекати обслуговування.

2.10. Пацієнти прибувають у поліклініку у відповідності з пуассонівським розподілом ймовірностей при пацієнтів на годину. Хол для чекання прийому у лікаря не може вмістити більш, ніж 14 пацієнтів. Тривалість прийому у лікаря підкоряється експоненціальному закону розподілу ймовірностей з середнім значенням μ=20 пацієнтів на годину. Треба визначити:

● відносну пропускну здатність поліклініки;

● імовірність того, що черговий прибувший пацієнт не буде чекати обслуговування;

● середню тривалість перебування пацієнта у поліклініці.

2.11. Потік клієнтів у банк є пуассонівським з інтенсивністю клієнтів на годину. Тривалості обслуговування одного клієнта розподілені експоненціально з середнім значенням на годину. У холі чекання обслуговування можна розмістити одночасно 30 клієнтів. Яку кількість кас повинен мати банк, якщо потрібно, щоб

● імовірність перебування у черзі 3 клієнтів не перевищувала 0,2;

● середнє число клієнтів у холі біля кас не перевищувало 3.

2.12. Щоб залучити більшу кількість відвідувачів, адміністрація кафе, про яке йшла мова у задачі 2.8, вирішила запропонувати кожному відвідувачу безкоштовно порцію прохолоджувального напою у тих випадках, коли покупець вимушений чекати обслуговування більше 5 хв. Вартість однієї порції напою дорівнює 50 коп. У що обійдеться у середньому щоденне пригощання прохолоджувальними напоями клієнтів, час знаходження яких у черзі виявиться більше 5 хв. (Припускається що ларьок відкритий для відвідувачів протягом 12 годин на добу).

2.13. У гаражі є 30 автомобілів і 3 пости обслуговування, де проводяться профілактичні і ремонтні роботи. У середньому кожна машина протягом місяця тричі потребує проведення обслуговування. В середньому на обслуговуванні машина знаходиться 1 добу. Знайти:

● середнє число зайнятих постів обслуговування;

● середнє число несправних машин;

● середній час, необхідний для чекання і проведення обслуговування.

2.14. Автоколону із 64 автомобілів обслуговує 1 заправник пального. Заправка триває у середньому 0,2 години. Кожний автомобіль заправляється один раз у зміну (зміна – 8 годин).

Визначити операційні характеристики обслуговування автомобілів заправником, розглядаючи цю систему як замкнуту СМО.

2.15. Підйомний кран обслуговує 10 вантажних автомобілів. Як тільки завантаження автомобіля закінчується, кран переходить до обслуговування наступного автомобіля. Інтервали часу завантаження одного автомобіля розподілені експоненціально з середнім значенням хв. Інтервали часу переміщення підйомного крана до місця навантаження продукції на наступний автомобіль також розподілені експоненціально з середнім значенням хв.

● визначити частку часу, протягом якого підйомний кран буде простоювати;

● визначити середню кількість автомобілів, які чекають обслуговування.

2.16. Два спеціаліста по ремонту обслуговують 5 агрегатів, розташованих у механічному цеху заводу. Несправності виникають у кожного агрегату у відповідності з пуассонівським законом розподілу ймовірностей з середньою частотою 3 несправності на годину. Тривалості ремонтних робіт розподілені експоненціально з параметром хв.

● обчислити ймовірність того, що обидва механіка виявляться незавантаженими роботою;

● обчислити ймовірність того, що один із механіків виявиться не завантаженим роботою;

● визначити середню кількість вийшовших із ладу і потребуючих ремонту агрегатів, які не прийняті на обслуговування.

2.17. У центрі сервісного обслуговування автомобілів ремонт автомобілів виконують n механіків. Для виконання ремонтних робіт механіки оформляють замовлення на потрібні деталі на склад автоцентру і виписують рахунок. Кількість таких замовлень в середньому дорівнює Середня тривалість оформлення документів складає хвилин, тобто інтесивність обслуговування механіків на складі дорівнює Для чекання обслуговування на складі є k місць. Якщо вони зайняті, механіки повертаються на свої робочі місця і повторюють замовлення через деякий час.

Визначити операційні характеристики моделі СМО, яка описує процес роботи механіків автоцентру.

Дані для розрахунків:

2.18. Таксомоторна фірма, яка здійснює обслуговування клієнтів деякого району, має n автомобілів. Протягом дня водії декілька разів роблять перерви, наприклад, на обід, на оформлення документів тощо. Середня кількість таких перерв у день дорівнює . Середня тривалість однієї перерви складає хв. Визначити основні операційні характеристики даної СМО.

Дані для розрахунків:

2.19. Розглядається робота пункту профілактичного огляду автомобілів. Він складається із 4 каналів обслуговування. На огляд кожного автомобіля витрачається у середньому години. При огляді канал виявляє дефект з ймовірністю p=0,8 . На огляд надходить у середньому 64 машини за зміну: авт/годин. Автомобіль вважається обслуженим, якщо в ньому виявлений дефект. Якщо автомобіль, прибувший у пункт огляду, не застане жодного вільного каналу, він покидає пункт необслуженим.

Визначити тип СМО, яка моделює роботу пункту профілактичного огляду автомобілів і обчислити основні операційні характеристики СМО.

2.20. Розглядається робота одноканальної СМО, у якій канал при одержанні чергової заявки спочатку приймає рішення відносно доцільності обслуговування цієї заявки, тобто робить висновок відносно того, чи дійсно клієнту потрібне обслуговування. Нехай ймовірність того, що клієнту, який прибуває на обслуговування, не знадобиться обслуговування, дорівнює 0,3. Припустимо, що середня тривалість обслуговування клієнта дорівнює 10 хв. Нехай потік заявок у систему є пуассонівський із значенням параметра у годину. Обчислити:

а) імовірність того, що після завершення процедури обслуговування у системі буде 10 клієнтів, якщо в момент, коли приступали до виконання даної процедури, у системі знаходилось 4 клієнти;

б) імовірність того, що у довільно вибраний момент у системі не буде клієнтів;

в) середнє число клієнтів у системі;

г) середню тривалість перебування клієнта у системі.

2.21. У комп’ютерну мережу, яка складається із сервера (центрального комп’ютера) і трьох станцій, надходить пуассонівський потік заявок на обробку документів з інтенсивністю документів в день. Заявки, які надійшли в систему, коли усі комп’ютери зайняті, стають у чергу. Комп’ютерна мережа працює як 4-х канальна СМО з необмеженою чергою з взаємодопомогою між каналами. Продуктивність одного комп’ютера дорівнює документо-програм на годину. Визначити операційні характеристики роботи комп’ютерної мережі.

2.22 Розподіл часу заправки автомобіля на АЗС є довільним з середнім значенням і дисперсією . Вхідний потік є пуассонівським з інтенсивністю автомобілів на годину. Виконуються умови стаціонарності Визначити операційні характеристики даної СМО.