Дотична площина та нормаль до поверхні до поверхні. Геометричний зміст диференціала

Геометричний зміст диференціала функції двох змінних

Рисунок 7.

пов'язано з дотичною площиною до поверхні, яка визначаєтьсяною цією функцією. Нехай функція, що диференціюється в околі точки , а поверхня S – її графік. Розглянемо перетин поверхні площиною і проведемо дотичну

пряму в точки до лінії перетину. Аналогійним чином побудуємо дотичну до лінії перетину площиною (рис.7).

Площина, що проходить через ці дві дотичні, які перетинаються, називається дотичною площиною до поверхні в точці . Її рівняння

(14)

де .

Можна показати, що для будь-якої лінії на поверхні, що проходить через точку , дотична пряма, проведена до лінії через цю точку, лежить в дотичній площині.

Вектор , який перпендикулярен дотичній площини, називається нормальним вектором до поверхні.

Пряма, перпендикулярна до дотичної площини, що проходить через точку дотику, називається нормаллю до поверхні в даній точці.

З рівняння (14) вектор є нормальним до поверхні (причому будь-який вектор, пропорційний йому, – теж нормальний). Звідси випливає, що рівняння нормалі до поверхні в точці має вигляд

(15)

Нехай тепер поверхня S задана неявним рівнянням , яке визначає в околі точки диференційовану функцію , причому . Згідно правил диференціювання неявної функції (12)-(13) (якщо )

.

Для зручності помножимо на множник , отримаємо інший нормальний вектор , де всі похідні обчислюються в точці . Таким чином, приходимо в цьому випадку до рівняння нормалі

(16)

Відмітимо, що рівняння дотичної площини можна записати у вигляді

(17)

Хоча раніше було зроблено припущення, що , але рівняння (16),(17) справедливі і коли . Вони не мають сенсу тільки в тому випадку, якщо все три частинні похідні дорівнюють нулю одночасно.

Точка називається особливою точкою поверхні , якщо .

В особливій точці дотична площина і нормаль до поверхні не визначені.

Приклади. Скласти рівняння нормальної прямої та дотичної площини

а) до конуса в точках та .

Обчислимо похідні: . Їх значення у мочці М: , значить, в точці M нормальний вектор , рівняння дотичної площини за формулою (17) має вигляд

або після розкриття дужок і скорочення на 4

,

а рівняння нормалі за формулою (14) –

.

В точці , значить, це особлива точка поверхні, і в ній дотична площина і нормаль не визначені.

б) до поверхні в точці .

Обчислимо частині похідні: . Та їх значення в точці С: , отже рівняння нормальної прямої за формулою (15)

.

Рівняння дотичної площини запишемо за формулою (14)

.

Розкриємо дужки та приведемо подібні

.

Екстремуми функції двох змінних

Точка називається точкою екстремуму (максимуму або мінімуму) функції двох змінних , якщо функція визначена в околі точки , та її значення в цій точці є відповідно найбільше або найменше значення функції в цьому околі. Значення функції в точках екстремуму називаються екстремальними.

Розглянемо необхідні і достатні умови існування екстремуму.

ТЕОРЕМА. Необхідна ознака екстремуму.

Якщо в точці функція , що диференціюється, має екстремум, то точка є стаціонарною.

Точка , в якій частинні похідні дорівнюють нулю: , або хоча б одна з них не існує називається стаціонарною точкою функції .

Проте умови (вони називаються умовами стаціонарності функції) не є достатніми, тобто їх виконання не гарантує існування екстремуму в точці .

ТЕОРЕМА. Достатня ознака екстремуму.

Нехай функція має в точці неперервні частинні похідні другого порядку (двічі неперервно дифференційовна) і точка – її стаціонарна точка. Позначимо для зручності

.

Розглянемо визначник

.

a) Якщо , то в точці є екстремум, причому

у випадку (або ) – мінімум

а у випадку (або ) – максимум.

б) Якщо , то в точці екстремуму немає (такі точки називаються сідловими).

в) Якщо , то для відповіді на питання про існування екстремуму потрібне додаткове дослідження.

Приклади. Знайти екстремуми функції

а) .

Знайдемо стаціонарні точки:

Таким чином, функція має дві стаціонарні точки і . Обчислюємо значення визначника й :

Звідки , значить, в точці є екстремум, а оскільки , то цей екстремум – максимум і його значення .

, значить, в точці екстремуму немає. Це – сідлова точка.

б) .

Знайдемо стаціонарні точки:

Отже, функція має одну стаціонарну точку . перевіримо, чи є в ній екстремум. Обчислимо визначник

Оскільки у будь-який точці додатній, то у точці Р екстремум є. Оскільки , то це мінімум. Знайдемо екстремальне значення функції

.