Застосування диференціала у наближених обчисленнях

Для диференційовної в точці функції має місце наближена рівність:

(3)

Приклади.

а) Обчислити наближено .

Розглянемо функцію , та обчислимо її частинні похідні

, .

Обчислимо значення та її частинних похідних в точці А(1;4)

, , .

Отже використовуючи формули (3), (1), та вважаючи прирости , , маємо

б) Для функції обчислити з точністю 0,01 наближене значення функції в точці , спираючись на значення функції в точці , замінивши приріст функції при переході від точки до точки диференціалом.

Обчислимо частинні похідні

, .

Обчислимо значення функції ( ), та значення частинних похідних у точці А

,

, .

Оскільки прирости незалежних змінних при переході від точки А до точки В дорівнюють , , то за формулами (1) та (3) маємо

.

Зауваження. Майже всі прямі вимірювання фізичних величин пов’язані з похибками. Припустимо, що величини та виміряні з максимальними абсолютними похибками і відповідно. Це означає, що в експерименті отримані такі результати . Потрібно за цими даними отримати формулу для обчислення максимальної абсолютної похибки при непрямому (косвенному) вимірюванні величини . Припустимо, що і істинні похибки при вимірюванні величин і . Оскільки , то

і природно визначати максимальну абсолютну похибку величини таким чином:

.

Отже, при непрямому вимірюванні величини маємо

.

Похідні складних функцій

• Нехай , де , тобто – складна функція однієї змінни . Тоді

(4)

Приклад. а) , де . Знайти .

, за формулою (4) маємо

.

• Нехай , де , тобто – складна функція двох змінних. Тоді її частинні похідні

(5)

Приклади. Знайти частинні похідні складених функцій.

а) , де . Обчислимо .

За першою з формул (5) маємо

Обчисліть самостійно.

б) , де , ;

, де , .

в) , де , ;

, де , ;

г) , де .

, , де .

• Формули (4), (5) легко розповсюджуються на випадки функцій більш ніж двох змінних. Наприклад, якщо , де , тоді

.

Частинні похідні вищих порядків

Розглянемо функцію . Її частинні похідні й самі є функціями двох змінних.

Частинні похідні від частинних похідних називаються частинними похідними другого порядку. Функція двох змінних має, таким чином, чотири частинні похідні другого порядку:

повторні похідні:

мішані похідні:

Приклад.

Частинні похідні та виявилися рівні, що відбулося зовсім не випадково.

ТЕОРЕМА. Якщо функція , її перші похідні , та змішані похідні та неперервні в деякій області, то мішані похідні та в цій області рівні .

Наслідок. Результат повторного диференціювання не залежить від порядку диференціювання (наприклад ), якщо всі виникаючі при обчисленнях похідні неперервні.

Похідна за напрямком

Рисунок 6.

Нехай z=f(P) – функція двох змінних, що диференціюється в околі точки , – вектор, що задає деякий напрямок, – точка на цьому напрямку (така, що вектор колінеарний вектору (рис. 6)).

Очевидно, що де , а – напрямні косинуси вектора, тобто косинуси кутів між вектором і осями координат Ох і Oy відповідно.

Величина називається приростом функції в даному напрямку. Границя відношення цього приросту до величини переміщення при умові називається похідною за напрямком та позначається ,

.

Нескладно одержати більш зручні формули для обчислення похідної за напрямком, а саме, для функції двох змінних z = f(x;y)

;

(6)

для функції трьох змінних

,

(7)

де напрямні косинуси тривимірного вектора відповідно рівні

.

(8)

Похідна за напрямком характеризує швидкість зміни функції в даному напрямку .

Приклади. Знайти похідну за напрямком та обчислити її значення в точці А.

а) , , P₀(4;8).

Знайдемо напрямні косинуси вектора .

Обчислимо частинні похідні .

, . За формулою (6) похідна за напрямком

Обчислимо її значення у точці P₀(4;8)

.

б) , , P₀(1;2;0).

Обчислимо модуль вектора За формулами (8) маємо . Обчислимо частинні похідні .

За формулою (7) маємо похідну за напрямком та її значення в точці P₀(1;2;0) .

Оскільки <0, то функція в напрямку спадає.