УКРАЇНСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМЯ ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Функції кількох змінних. Диференціальне числення Методичні вказівки і завдання

з дисципліни «Вища математика» для студентів загальнотехнічних спеціальностей всіх форм навчання

Харків – 2010

Завдання і методичні вказівки призначені для студентів технічних спеціальностей всіх форм навчання. Розглянуті і рекомендовані до друку на засіданні кафедри вищої математики УкрДАЗТ, протокол № від серпня 2010 р.

Укладачі ст.викл.Рибачук О.В., ст.викл. Шувалова Ю.С.

Рецензент професор Куліш Ю.В.

ВСТУП

Ці методичні вказівки присвячені одному з розділів курсу вищої математики – диференціальному численню функцій декількох змінних і його застосуванням. Методичні вказівки містять в мінімальному об'ємі виклад вузлових розділів теми, який може бути використаний для першого ознайомлення з матеріалом перед читанням підручника. Вивчення теоретичного матеріалу слід супроводжувати розв'язанням задач. Приклади з розгорнутими поясненнями допоможуть при виконанні контрольних (розрахунково-графічних) робіт. Корисно для закріплення навичок, крім свого варіанта, виконати завдання ще одного варіанта.

Методичні вказівки також містять список учбової літератури, і завдання контрольної роботи. Номер варіанта контрольної роботи видається викладачем. Залік контрольних (розрахунково-графічних) робіт згідно з учбовою програмою є необхідною умовою допуску студента до заліку або екзамену з курсу вищої математики. Робота, що містить виконаний чужий варіант завдань, не заліковується.

Функція декількох змінних

Нехай D – довільна множина точок на площині R². Якщо

Рисунок 1

кожній точці поставлено у відповідність за деяким правилом “ ” число , то говорять, що на множині D задана функція . Оскільки кожна точка однозначно визначається своїми координатами, то , D R2, і ми приходимо до поняття функції двох змінних. Множина D

називається областю визначення функції, а – незалежними змінними.

Аналогічно визначається поняття функції трьох змінних (якщо D R³).

Функція двох змінних має геометричне зображення – графік, який складається з усіх точок таких, що , а . Як правило, графік функції – деяка поверхня (рис. 1). Функція повністю визначається своїм графіком.

Приклади.

а) графіком функції буде площина ;

Рисунок 2.	Рисунок 3.
Парабола Рисунок 4

б) графіком функції буде параболоїд (рис. 2);

в) графіком функції буде поверхня порожнина конуса (рис. 3);

г) графіком функції буде сідло (гіперболічний параболоїд) (рис. 4).