Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Операц.исчисл.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

5.4. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем

Операционный метод позволяет просто решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, в правых частях которых стоят оригиналы. Оператор Лапласа применяется к обеим частям такого уравнения, после чего получается линейное алгебраическое уравнение относительно изображения неизвестной функции.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения, например, второго порядка с постоянными коэффициентами:

удовлетворяющее начальным условиям

(Для уравнений более высоких порядков решение аналогично.)

Будем считать, что искомая функция вместе с ее производными и функция являются оригиналами. Пусть . Используя теорему о дифференцировании оригинала, находим изображения производных, входящих в уравнение:

Далее, пусть для правой части уравнения изображением будет . Тогда, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и пользуясь свойством линейности изображения, получим операторное (или изображающее) уравнение:

Это уравнение является линейным уравнением относительно неизвестной функции . Из него находим

Наконец по изображению восстанавливаем оригинал , который в силу теоремы единственности оригинала и является частным решением заданного уравнения.

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Примеры.

1. Используя операционное исчисление, найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Пусть , тогда , кроме того . Таким образом, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, приходим к операторному уравнению

Выразим из полученного уравнения функцию :

Представим эту рациональную дробь как сумму простейших дробей:

Итак, . Следовательно, решением заданного дифференциального уравнения будет функция, которая является оригиналом для полученного изображения:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Пусть . Тогда

и .

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

или

Методом неопределенных коэффициентов найдем разложение этой дроби в сумму простейших дробей.

Таким образом, . Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения будет

3 . Решить задачу Коши , где функция задана графически на рисунке.

Решение. Пусть . Тогда . Найдем изображение функции , воспользовавшись теоремой запаздывания. Зададим аналитически, используя единичную функцию Хевисайда: