5.2.2. Свойство подобия

Если и λ – произвольная положительная постоянная, то , т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

5.2.3. Теорема смещения

Если и , то , т.е. при умножении оригинала на функцию аргумент изображения смещается на величину а.

Используя это свойство и найденные выше изображения, легко получить следующие соотношения

,

.

5.2.4. Теорема о дифференцировании изображения

Если , то , т.е. при умножении оригинала на изображение дифференцируется п раз и умножается на .

Используя сформулированное свойство, найдем изображение для функции .

Так как , то

.

Далее

; .

Продолжая дифференцировать, получим

.

Напомним, что (считают ).

Учитывая теорему смещения, несложно получить следующее соотношение

.

5.2.5. Теорема запаздывания

Пусть функция – оригинал. Тогда график функции имеет тот же вид, но смещен на единиц вправо (при ). Следовательно, функции и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией , начинается с опозданием на время .

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если , , то , т.е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала на .

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями.

Н айдем изображение функции . Эта функция получается из единичной функции Хевисайда смещением на единиц. Ее график изображен на рисунке. Так как , то по теореме запаздывания .

Примеры.

1. Найти изображение функции

Р ешение. График функции изображен на рисунке. Заданную функцию можно описать с помощью единичной функции Хевисайда следующим образом:

.

Поэтому по теореме запаздывания

.

Заметим, что ранее это изображение было найдено по определению.

2. Найти изображение функции, заданной на рисунке.

Решение. Зададим функцию аналитически.

или . Следовательно, изображение заданной функции имеет вид

.

3. Найти изображение функции

Р ешение. График функции построен на рисунке. Заметим, что заданную функцию можно так же описать с помощью единичной функции Хевисайда следующим образом:

.

Так как по теореме запаздывания справедливо соотношение

,

то по теореме смещения окончательно получаем

.

Ранее изображение этой функции было найдено исходя из определения.

4. Найти изображение функции

Решение. Функция-оригинал изображена на рисунке. Запишем ее, используя функцию Хевисайда.

Преобразуем полученное выражение:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

.

По теореме запаздывания найдем изображение заданной функции.

.

5. Найти оригинал для изображения .

Решение. Так как , то воспользуемся теоремой запаздывания:

,

или