Глава 5. Элементы операционного исчисления

5.1. Основные определения

Основными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть задана функция действительного переменного t. Функция называется оригиналом или начальной функцией, если она удовлетворяет следующим условиям: при . – кусочно-непрерывна при , т.е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке таких точек лишь конечное число. Существуют такие числа и , что при всех t выполняется неравенство , т.е. с ростом t функция может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число называется показателем роста функции .

Заметим, что функция может быть и комплексной функцией действительного переменного, т.е. иметь вид ; она считается оригиналом, если действительные функции и являются оригиналами.

Пусть – оригинал, а – комплексный параметр, причем . Рассмотрим произведение функции на комплексную функцию действительного переменного t: и определим несобственный интеграл

.

Можно показать, что при сформулированных условиях этот интеграл сходится и является функцией переменного р:

.

Этот интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция – преобразованием Лапласа, или лапласовым изображением , или просто изображением . Соответствие между оригиналом и его изображением будем записывать в виде

или .

Теорема (о единственности оригинала). Если две непрерывные функции и имеют одно и то же изображение , то эти функции совпадают.

Примеры.

1 . По определению найдем изображение единичной функции Хевисайда, определяемой следующим образом

График введенной функции изображен на рисунке.

Решение.

Итак, .

2. Найти изображение функции , где а – любое число.

Решение. Данная функция является оригиналом. По определению изображения имеем

если . Таким образом, .

3. Н айти изображение функции, заданной на рисунке.

Решение. Зададим функцию аналитически

и воспользуемся определением.

4. Найти изображение функции

Решение. График заданной функции изображен на рисунке. Чтобы найти изображение функции, воспользуемся определением.

5.2. Свойства преобразования Лапласа

Находить изображение, используя только определение, не всегда просто. Свойства преобразования Лапласа облегчают задачу нахождения изображений для большого числа функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

5.2.1. Линейность изображения

Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные, равняется сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные, т.е. если и , то , где и – постоянные.

Используя сформулированное свойство и выведенные соответствия , , найдем изображения функций: С, , , , .

1. .

2. 

.

Таким образом, .

3. Аналогично, учитывая формулу , можно доказать соответствие .

4. Используя определение гиперболического синуса и свойство линейности изображения, несложно получить соответствие .

5. Аналогично из определения гиперболического косинуса следует формула .