Вопрос 17. Выяснить, как расположены относительно друг друга в пространстве две прямые , :

а) пересекаются; б) параллельны; в) перпендикулярны; г) совпадают.

(правильный ответ: а).

Вопрос 18. Точкой пересечения прямой с плоскостью , заданной общим уравнением , является:

а) ; б) ; в) ; г) .

(правильный ответ: в).

Тест №2 (2 семестр). Линейные пространства. Линейные операторы. Квадратичные формы Вариант 1

Задание 1. Пусть система ненулевых векторов линейного пространства является линейно-зависимой. Указать неверное (неверные) высказывания:

а) существует вектор из системы векторов , который выражается в виде линейной комбинации через остальные векторы системы;

б) система векторов является базисом в ;

в) система из векторов является линейно-зависимой;

г) система всегда линейно-зависима.

(правильный ответ: б, г).

Задание 2. Дана система Размерность линейного пространства решений для этой системы равна:

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

(правильный ответ: б).

Задание 3. В даны два вектора , . Дополнение до базиса в предусматривает наличие в нем третьего вектора:

а) ; б) ; в) ; г) .

(правильный ответ: в).

Задание 4. Матрица перехода от к имеет вид . Связь между этими базисами описывается системой:

а) б) в) г)

(правильный ответ: г).

Задание 5. Пусть , базисы, причем связь между ними описывается равенствами . Формулы преобразования координат при переходе от к имеют вид

а) б) в) г)

(правильный ответ: в).

Задание 6. Пусть ­евклидово пространство размерности n. Какое из высказываний является неверным:

а) в всегда существует ортонормированный базис из векторов ;

б) любая ортогональная система векторов , не содержащая нулевого вектора, линейно-независима;

в) любой ортогональный базис можно преобразовать в ортонормированный;

г) любая ортогональная система векторов линейно-зависима.

(правильный ответ: г).

Задание 7. В даны векторы , . Дополнение этих векторов до ортогонального базиса в состоит из вектора:

а) ; б) ; в) ; г) .

(правильный ответ: в).

Задание 8. Ортонормированный базис имеет вид:

а) б) в) г)

(правильный ответ: а).

Задание 9. Линейный оператор переводит вектор в вектор . Тогда матрица этого оператора имеет вид:

а) ; б) ; в) ; г) .

(правильный ответ: в).

Задание 10. Линейный оператор определяется матрицей . Установить соответствие между понятиями для оператора.

(1) оператор является	( ) 1
(2) ранг оператора равен	( ) особенным (вырожденным)
(3) дефект оператора равен	( ) 2
(4) ядро оператора содержит вектор	( ) неособенным (невырожденным)
	( )
	( )

Правильный ответ

(1) оператор является	(3) 1
(2) ранг оператора равен	(1) особенным (вырожденным)
(3) дефект оператора равен	(2) 2
(4) ядро оператора содержит вектор	( ) неособенным (невырожденным)
	( )
	(4)

Задание 11. Пусть оператор в базисе задается матрицей . Тогда в базисе , он имеет матрицу:

а) ; б) ; в) ; г) .

(правильный ответ: а).

Задание 12 Оператор задается матрицей . Собственными числами и соответствующими им собственными векторами оператора являются:

а) б)

в) г) .

(правильный ответ: б).

Задание 13. Квадратичная форма имеет вид

. Тогда матрица этой формы равна:

а) ; б) ; в) ; г)

(правильный ответ: в).

Задание 14. Квадратичная форма имеет вид . Какие из следующих высказываний верные:

а) форма является невырожденной (неособенной);

б) форма является вырожденной (особенной);

в) форма является знакоположительной;

г) ранг формы равен 3;

д) форма является знакопеременной.

(правильный ответ: а, в, г).

Задание 15. Установить соответствие между квадратичными формами и их типами:

(1)	() отрицательно-определенная
(2)	() положительно-определенная
(3)	() знакопеременная
(4)	() неотрицательно-определенная

правильный ответ

(1)	(3) отрицательно-определенная
(2)	(4) положительно-определенная
(3)	(1) знакопеременная
(4)	(2) неположительно-определенная

Задание 16. Квадратичная форма с матрицей является отрицательно-определенной, если:

а) знаки главных миноров матрицы чередуются, начиная со знака минус;

б) все главные миноры матрицы строго положительны;

в) все главные миноры матрицы строго отрицательны;

г) знаки главных миноров матрицы чередуются, начиная со знака плюс.

(правильный ответ: а).