3.2Середні величини та показники варіації.

При вивчені масових явищ одна з основних задач статистики є вивчення окремих властивостей кожної сукупності явища. Для того щоб виявити характерні особливості сукупності, використовують середні величини. Середня величина характеризує всю вагу одиниць сукупності.

В статистиці використовують декілька видів середніх величин. Основними серед них є: середня арифметична, середня гармонійна, середня квадратична і середня геометрична.

Середня арифметична – основний вид середніх величин. Буває проста і зважена. Проста – це сума індивідуальних значень варіруємої ознаки, що поділена на кількість одиниць сукупності. Зважена – середня із варіантів, що повторюється не однакову кількість раз чи має різну статистичну вагу.

Середня квадратична використовується для оцінки варіації, тобто коли треба оцінити середню варіацію ознаки. Середнє гармонійне і середнє геометричне в даному випадку не знаходимо.

Середня арифметична проста:

де Х_і – індивідуальні значення ознаки;

n ‑ кількість одиниць сукупності.

Середня арифметична зважена. Оскільки сукупність згрупована, а частоти варіантів задані явно, то визначаємо середню арифметичну зважену величину:

;

де Х_і – індивідуальні значення ознаки;

m_і ‑ кількість однакових варіант.

Розрахуємо середні величини:

1. Ознака –вік працівника:

Таблиця 3.2.

№ п\п	вік	Кількість працівників	середина інтервалу
1	21-26,2	8	23,6
2	26,2-31,4	3	28,8
3	31,4-36,6	5	34
4	36,6-41,8	2	39,2
5	41,8-47	3	44,4
6	47-52	7	49,6

Ця величина показує, що в середньому вік становить 37 років .

2.Ознака – відпрацьований час:

Таблиця 3.3.

№ п\п	Відпрацьований час	Кількість працівників	Середина інтервалу
1	53,2-56,1	4	54,65
2	56,1-59	8	42,55
3	59-61,9	4	60,45
4	61,9-64,9	7	63,4
5	64,9-67,7	4	66,3
6	67,7-71	1	69,15

Середній відпрацьований час становить 56,40 год /в день.

3.Ознака – коефіцієнт використаного робочого дня :

Таблиця 3.4.

№ п\п	Коефіцієнт використаного робочого дня	Кількість працівників	Середина інтервалу
1	0,95-1,01	6	0.98
2	1,01-1,07	2	1.04
3	1,07-1,13	2	1.1
4	1,13-1,19	1	1.16
5	1,19-1,25	7	1.22
6	1,25-1,35	10	1.28

Середній коефіцієнт використаного робочого часу становить 1,16 год в день .

Крім визначення середніх величин, щоб оцінити коливання ознаки сукупності, в цьому розділі роботи знаходимо показники варіації, які показують як розмістились варіанти ознаки навколо середнього значення ознаки. До них відносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та дисперсія.

Розмах варіації - становить різницю між мінімальним і максимальним значенням ознаки. Перевага показника у тому, що його знаходження дуже просте. Недолік – із всіх одиниць сукупності беруться лише 2 одиниці, що мають максимальне та мінімальне значення.

R_х = x_max – x_min

-- для ознаки –вік працівника:

R_х = 52-21=31 років

--для ознаки –відпрацьований час :

R_х = 71-53,2=17,8 год/в день

-- для ознаки –коефіцієнт використання робочого дня :

R_х = 1,35-0,35=1 (год)

Таким чином, вік працівника варіює в межах 31 років, відпрацьований час змінюється в межах 17,8 год/в день, а коефіцієнт використаного робочого дня варіює в розмірі 1 год.

Середнє лінійне відхилення призначене для вимірювання варіації ознаки в сукупності. Цей показник відрізняється від попереднього тим, що він враховує всі одиниці сукупності , проте є недолік: не враховується знак відхилення ознаки від середньої величини.

де - середнє арифметичне ознаки.

х_і – індивідуальне значення ознаки.

-- для ознаки – вік працівників:

Значення віку для кожного з працівників знаходиться в межах .

--для ознаки – відпрацьований час :

Значення відпрацьований час знаходиться в межах год.

-- для ознаки – коефіцієнтом використаного робочого дня:

Значення коефіцієнтом використаного робочого дня знаходиться в межах год/в день

Середнє квадратичне відхилення – корінь квадратний із середнього квадрату відхилень від середніх значень. Воно показує, на скільки в середньому індивідуальне значення ознаки відрізняється від середніх величин.

-- для ознаки – вік працівників:

Квадратичне відхилення віку працівників від його середнього становить

--для ознаки – відпрацьований час :

Квадратичне відхилення відпрацьованого часу від його середнього значення становить год.

-- для ознаки – коефіцієнт використаного робочого дня :

Квадратичне відхилення коефіцієнта використаного робочого дня від його середнього значення становить год/в день.

Дисперсія – це абсолютний показник варіації, квадрат квадрата відхилення. Зважена дисперсія визначається за формулою:

-- для ознаки – коефіцієнт використання пробігу:

--для ознаки – продуктивність праці:

-- для ознаки – технічна швидкість:

При порівнянні варіації різних ознак використовуються відносні характеристики – коефіцієнти варіації, які обчислюються як відношення абсолютних характеристик варіації до характеристики центру розподілу.

-- для ознаки – коефіцієнт використання пробігу:

V= ( / ) *100%= %

--для ознаки – продуктивність праці:

V=( / )*100%= %

-- для ознаки – технічна швидкість:

V=( / )*100%= %

Вважається, що якщо V>30%- зв'язок не однорідний, V<30%- зв'язок однорідний. В даному випадку бачимо, що сукупність, розглянута в ході спостереження є однорідною.

3.3 Структурні середні

Структурні середні – це середні, що характеризують структуру варіаційних рядів.

До середніх структурних відносяться дві величини, які називаються "мода" і "медіана".

Мода (модальна величина) ряду – це така величина, яка найбільш часто зустрічається в даному розподілі.

де x₀ – це нижня межа модального інтервалу.

i – довжина інтервалу.

m_m0 – частота модального інтервалу,

m_m0-1 – частота інтервалу, що передує модальному,

m_m0+1 – частота інтервалу, що йде після модального інтервалу.

Розрахуємо моду для таких показників:

-- коефіцієнт використання пробігу (модальний інтервал –(0,66-0,71)):

Найбільше в сукупності зустрічається водіїв з коефіцієнтом використання пробігу 0,67

-- продуктивність праці (модальний інтервал –(211,8-224)):

Найбільше в сукупності зустрічається водіїв з продуктивністю праці 216,375 т/день.

-- технічна швидкість (модальний інтервал –(30,05-31,6)):

Найбільше в сукупності зустрічається водіїв, що мають технічну швидкість 30,56 км/год.

Медіаною називається значення варіруючої ознаки, що знаходиться в середині ранжируємого ряду і поділяє цей ряд на дві рівні частини.

;

де Х₀ – нижня границя медіанного інтервалу;

і – величина інтервалу;

m_і – загальна сума частот усіх інтервалів;

m_е – частота медіанного інтервалу;

Sm_e-1 – сума частот до медіанного інтервалу.

Розрахуємо медіану для таких показників:

-- коефіцієнт використання пробігу (медіанний інтервал –(0,57-0,60)):

У половини водіїв коефіцієнт використання пробігу більше 0,59, у іншої половини – менше 0,59.

-- продуктивність праці (медіанний інтервал –(211,8-224)):

У половини водіїв продуктивність праці становить більше 213,16 т/день, у іншої половини – менше 213,16 т/день.

-- технічна швидкість (медіанний інтервал –(25,46-26,99)):

У половини водіїв технічна швидкість становить більше 26,68 км/год, у іншої половини – менше 26,68 км/год.