федеральное агенство по образованию

Сочинский государственный университет туризма и курортного дела

Факультет ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И МАТЕМАТИКИ

Кафедра ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Н.С. Абуева

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Курс лекций

Учебное пособие для студентов экономических специальностей

Сочи

СГУТиКД

2007

Тема 1. Математическая модель задачи линейного программирования (злп)

План лекции:

1. Предмет математического программирования (МП)

2. Математическая модель задачи МП

3. Основные виды задач МП

4. Многокритериальная оптимизация

5. Основные понятия теории оптимизации

6. Постановка ЗЛП. Различные формы записи ее математической

модели

1. Предмет математического программирования

Определение 1.1. Математическое программирование – раздел математики по моделированию задач на оптимизацию функций многих переменных параметров, где существенную роль играют ограничения на область возможного изменения этих параметров.

Исследование большинства процессов, в том числе и экономических, обычно начинается с их математического моделирования, то есть отражения реального процесса через математические соотношения. При этом составляются уравнения или неравенства, которые связывают различные показатели (переменные) исследуемого процесса, образуя систему взаимосвязей и ограничений. В этих соотношениях выделяются такие переменные, меняя которые, можно получить оптимальное значение основного показателя данной системы (прибыль, доход, затраты). Соответствующие методы, позволяющие решать указанные задачи, объединяются под общим названием «Математическое программирование» или «Математические методы исследования операций». Методами МП решаются задачи о распределении ресурсов, планировании выпуска продукции, ценообразовании, транспортные задачи и т.д.

2. Математическая модель мп

Определение 1.2. Математическая модель – система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.

Математическая модель МП устанавливает математические соотношения между переменными системы с целью определения их оптимальных значений в соответствии с условиями задачи.

Математическая модель МП включает:

1) совокупность управляемых n-переменных , называемых планом задачи; вектором управления, решения; управлением, стратегией;

2) целевую функцию , определяющую результирующие показатели и являющуюся критерием эффективности решения задачи (функция цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи):

;

3) систему ограничений на переменные в соответствии с имеющимися ресурсами (материальными, финансовыми, трудовыми):

.

Определение 1.3. Область допустимых решений (ОДР) – интервалы значений переменных , удовлетворяющих системе ограничений математической модели ЗЛП.

3. Основные типы задач мп:

1) Если целевая функция и функции линейны относительно переменных , то такая задача является задачей линейного программирования.

2) Если, исходя из содержательного смысла, решения ЗЛП должны быть целыми числами, то эта задача целочисленного линейного программирования.

3) Если критерий эффективности и (или) система ограничений, задаются нелинейными функциями, то получаем задачу нелинейного программирования. В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то полученная задача является задачей выпуклого нелинейного программирования.

4) Если параметры целевой функции и (или) системы ограничений изменяются во времени или состоит из нескольких функций или процесс принятия решения имеет многошаговый характер, то задача относится к динамическому программированию.

5) Если параметры, входящие в целевую функцию , или ограничения задачи являются случайными, недостоверными, или если приходится принимать решения в условиях риска, неполной или недостоверной информации, то задача относится к стохастическому программированию.