2.3 Управление с использованием воздействий по ошибке и её производным

Рассмотрим систему с переменной структурой, в которой управление формируется в виде суммы воздействий по ошибке и некоторым ее производным, причем каждый из коэффициентов воздействий принимает одно из двух возможных значений. Пусть эти коэффициенты скачкообразно изменяются на некоторой гиперплоскости в пространстве координат системы. Выясним, при каких условиях эта гиперплоскость является гиперплоскостью скольжения и движение по ней устойчиво. При сделанных выше предположениях СПС описывается уравнениями

(2.69)

(2.70)

(2.71)

(2.72)

постоянные величины.

Гиперплоскость S, заданная в пространстве (х1,…хп) уравнением s= 0, будет являться гиперплоскостью скольжения, если для любой её точки выполнены условия (2 27). Для точек на S (т.е. ) величина ds/dt запишется в виде

(2.73)

Отсюда получаем необходимые и достаточные условия существования скользящего режима:

(2.74)

(2.75)

Теперь выясним условия, при которых скользящие движения устойчивы. Ответ на этот вопрос дает приводимая ниже теорема.

Теорема. Пусть выполнены условия (2.74), (2.75). Для того чтобы движение изображающей точки по гиперплоскости скольжения для системы (2.69) было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения этой системы при помимо , лежали в левой полуплоскости плоскости корней.

В рассматриваемом случае выбор параметров управляющего устройства следует производить следующим образом. Произвольно задаем величину сn-1 и из (2.75) находим ск,...,сп-2 . Затем произвольным образом задаем c1,..., ск-2 и выбираем такие при которых выполняются неравенства (2.74).

Коэффициенты c1,…ck-1,cn-1 подбираются таким образом, чтобы удовлетворялись условия теоремы, причем, если на , не накладывается ограничений, то следует рассмотреть все k-мерное пространство параметров c1,…ck-1,cn-1, в противном случае - лишь некоторую его часть. И, наконец, осталось решить вопрос о требуемом числе коммутаций. Отметим, что число коммутаций k сначала следует принять равным единице и проверить, выполняются ли одновременно условия существования гиперплоскости скольжения и условия устойчивости движения по ней. В случае, если эти условия выполнить не удается, число k необходимо последовательно увеличивать. Заметим, что вопрос о существовании гиперплоскости скольжения и о выполнении условий устойчивости движения по ней решается в результате рассмотрения k-мерного пространства параметров. С практической точки зрения было бы гораздо удобнее иметь дело с одномерной задачей. Приводимая ниже теорема в случае неограниченных указывает процедуру отыскания числа k для системы с переменной структурой вида (2.69) - (2.72), которое обеспечивает выполнение указанных условий, причём на каждом шаге этой процедуры возникает задача выбора всего лишь одного параметра.

Теорема. Для того чтобы движение изображающей точки по гиперплоскости скольжения для системы (2.69) - (2.72) было устойчивым, достаточно, чтобы для СПС п-k+1-го порядка с одной коммутацией

(2.76)

(2.77)

(2.78)

- постоянные величины, cn =1, гиперплоскость Sk, заданная в пространстве x1,..., хп уравнением sk =0, была гиперплоскостью скольжения с устойчивым движением [12].

Это означает, что для (2.76) - (2.78) должны выполняться соотношения

(2.79)

(2.80)

и, согласно теореме, приведенной выше, характеристическое уравнение системы (2.76) при

имеет все корни в левой полуплоскости, за исключением λn=cn-1-an.