3.3 Построение модели системы с переменной структурой в Model Vision Studium

1. Управление объектом с использованием воздействий по координате ошибки.

Рассмотрим пример систем автоматического регулирования с переменной структурой третьего порядка и проиллюстрируем полученные результаты с помощью MVS. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (3.1)

(3.1)

(3.2)

Где

(3.3)

Убедимся, что для такой системы всегда можно найти плоскость скольжения S, в которой движение устойчиво.

Для устойчивости движения в скользящем режиме коэффициенты с1 и с2 в (3.2) следует выбрать так, чтобы

с1>0 и с2>0. (3.4)

С другой стороны, для того чтобы плоскость S, заданная в пространстве (x1,x2,x3) уравнением S=0, была плоскостью скольжения коэффициенты с1 и с2 должны, как известно, удовлетворять условиям (2.46) или

(3.5)

Очевидно, что условия (3.4) и (3.5) могут быть выполнены одновременно.

Используя формулы 3.1-3.5 составим модель, используя пакет MVS. Структурная схема работы модели изображена на рис. 3.6.

Проект в MVS состоит из следующих частей:

а) структурная схема (рис. 3.6)

Рис. 3.6

Данная структурная схема состоит из двух элементов CrampGenerator1 и VarStruct_1. Первый элемент CrampGenerator1 – генератор равномерного нарастающего сигнала. Данный элемент содержит следующие параметры:

1. InitialOutput: double := 0; -- начальный уровень сигнала

2. UpperLimit: double := 100; -- предельный уровень сигнала

3. Slope: double := 1; -- скорость нарастания уровня сигнала

4. StartTime: double := 0; -- начальная задержка

Работу данного устройства можно описать следующей схемой рис. 3.7

Рис. 3.7

Второй элемент VarStruct_1 – является локальным блоком характеризующим работу класса VarStruct. В данном блоке один вход на который подается сигнал с CrampGenerator_1 и один выход.

Далее рассмотрим структуру добавленного класса VarStruct (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Данный класс содержит ряд внутренних переменных и констант представленных в (табл. 3.1), главной карты поведения (рис. 3.9), и трёх систем уравнений, характеризующих состояния системы.

Таблица 3.1

переменная	тип	значение
a1	double	4
a2	double	43
a3	double	1
a4	double	50
x	double	-1
y	double	0
u	double	1
z	double	0
s	double	0
psi	double	0
с1	double	с2*с2
с2	double	10

Главная карта поведения представлена на рис. 3.9, где каждый узел графа характеризует одно из трёх состояний системы в зависимости от ψ согласно (3.3):

1. при x*s=0 – начальное состояние системы;

2. при x*s<0 – состояние системы № 2;

3. при x*s>0 – состояние системы № 3.

Возможные переходы системы из одного состояния в другое представлены на карте поведения и указаны ломаной линией со стрелкой указывающей направление перехода.

Возможные переходы в системе:

1. из 1-го состояния x*s=0 во 2-ое при условии, что x*s<0

2. из 1-го состояния x*s=0 в 3-е при выполнении условия x*s>0

3. из 3-го состояния в 1-ое и из 3-го состояния во 2-ое при выполнении условия x*s=0 (переход в начальное значение)

4. из 3-го состояния во 2-ое при выполнении условия x*s>0

5. из 2-го состояния в 3-е при x*s<0

Рис. 3.9. Карта поведения

Каждое состояние системы описано системой уравнений согласно (3.1) и дополнительными условиями (3.2 – 3.3). Условия работы системы в 1-ом состоянии изображены на рис. 3.10

Рис. 3.10. Состояние системы № 1

Аналогичные условия будут и для состояний системы №2 и 3, с той лишь разницей, что для состояния №2 ψ=-1, для №3 ψ=1.

Результаты работы системы представлены на временной диаграмме (рис. 3.11) и фазовой диаграмме (рис. 3.12)

Рис. 3.11 Временная диаграмма

Анализируя полученную временную диаграмму стоит сказать, что система с переменной структурой в данном случае стабилизируется на 25 такте своей работы, система попадает в скользящий режим, т.е. в режим при котором на прямой переключения (гиперплоскости переключения) изменение структуры происходит с бесконечно растущей частотой.

Рис. 3.13 Фазовая диаграмма

Фазовая диаграмма модели свидетельствует о том, что система с переменной структурой является устойчивой, так как фазовые траектории стремятся к 0.

В заключение на основании изложенных выше результатов, наметим методику выбора параметров управляющего устройства в системе с переменной структурой (2.34) - (2.37), которые гарантируют существование гиперплоскости скольжения с устойчивым движением. Задача состоит в выборе таких коэффициентов α, β, сi, чтобы удовлетворялись (2.45), (2.46) и решение системы (2.53) было устойчивым. Из (2.46) следует, что один из коэффициентов ci , например cn-1 можно задавать произвольно, а затем найти оставшиеся. Далее по полученным значениям с1 и cn-1 найти согласно (2.45). Если не ограничены, то сn, может принимать любое значение; если ограничены, то сn-1, можно выбирать из некоторой ограниченной области. Заметим, что даже при неограниченных не всегда удается одновременно удовлетворить условиям теоремы и условиям существования гиперплоскости скольжения.

С другой стороны, эта задача может быть решена средствами систем с переменной структурой, если помимо ошибки коммутировать воздействия, кроме того, еще и по другим координатам системы, для этого рассмотрим второй способ.

б) Управление с использованием воздействий по ошибке и её производным.

Приведём пример систем автоматического регулирования с переменной структурой четвертого порядка. Полученные результаты продемонстрируем с помощью программного продукта MVS.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (3.6)

(3.6)

где управление u скачкообразно меняется на гиперплоскости S заданной уравнением s=0,

(3.7)

с1,с2,с3 – положительные величины.

Увеличим число коммутаций k на единицу и составим управление в виде суммы ошибки и её производной, причём коэффициенты воздействий по этим координатам будем скачкообразно менять по-прежнему на гиперплоскости S(s=0). Тогда для системы (3.6) управление u будет иметь вид

(3.8)

(3.9)

s задано согласно (3.7)

В силу (2.74) и (2.75) гиперплоскость S будет гиперплоскостью скольжения, если

(3.10)

(3.11)

Используя выше описанные формулы (3.6 – 3.11) составим модель системы с переменной структурой в MVS. Рассмотрим далее каждый структурный элемент модели в отдельности.

Виртуальный стенд модели используемый в данном случае полностью совпадает с виртуальным стендом, который рассматривался в первом случае (рис. 3.6).

Далее перейдем к рассмотрению добавленного класса VarStruct (рис. 3.14)

Рис. 3.14

Начальные значения переменных и констант, их тип наглядно показаны на рис. 3.14. Поэтому далее перейдём к более детальному рассмотрению главной карты поведения системы (рис. 3.15).

Данная карта поведения состоит из 6 узлов, один из которых Init является начальным узлом, остальные пять – это состояния системы, которые описываются системой уравнений. Все переходы представленные в карте поведения модели занесены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

№ нач. сост. системы	направление перехода	условие перехода	№ сост.в которое системы переходит
1	→	x*s>0 и y*s>0	2
1	→	x*s<0 и y*s<0	3
1	→	x*s>0 и y*s<0	4
1	→	x*s<0 и y*s>0	5
2	→	x*s=0 и y*s=0	1
2	→	x*s<0 и y*s>0	3
2	→	x*s>0 и y*s<0	4
2	→	x*s<0 и y*s<0	5
3	→	x*s=0 и y*s=0	1
3	→	x*s>0 и y*s>0	2
3	→	x*s<0 и y*s>0	4
3	→	x*s<0 и y*s<0	5
4	→	x*s=0 и y*s=0	1
4	→	x*s>0 и y*s<0	2
4	→	x*s>0 и y*s>0	3
4	→	x*s<0 и y*s<0	5
5	→	x*s=0 и y*s=0	1
5	→	x*s>0 и y*s>0	2
5	→	x*s<0 и y*s>0	3
5	→	x*s>0 и y*s<0	4

Рассмотрим систему уравнений для 1-го состояния модели (рис. 3.16). Вызовем окно редактора формул, в котором задано начальное состояние системы согласно (3.6 – 3.9). Состояния системы № 2,3,4 и 5 также содержат данную систему уравнений, однако значение ψ1 и ψ2 вычисляются согласно (3.9 – 3.10).

Рис. 3.16

Результат работы модели системы с переменной структуры с управляющим воздействием по координате ошибки и её производной представлен на временной диаграмме (рис. 3.17) и фазовой диаграмме (рис. 3.18).

Рис. 3.17 Временная диаграмма

Временная диаграмма модели иллюстрирует сигнал ошибки – x, y=x\, u - управляющее воздействие, а также изменение ψ1,ψ2 согласно (3.9 -3.10)

Рис. 3.18 Фазовая диаграмма

Так как и в первом случае анализируя полученную фазовую диаграмму следует сказать, что модель системы с переменной структурой является устойчивой, фазовые траектории стремятся 0, система попадает в скользящий режим.

Следовательно, для исходной системы четвертого порядка с помощью двух коммутаций всегда можно обеспечить существование гиперплоскости скольжения с устойчивым движением.