Примеры решения задач
Пример 1. Для непрерывной случайной
величины Х известны выборочные
характеристики:
.
Задано: = 0,01, = 5,5, n = 20.
Проверить: Н0: = 65 при Н1: > 65.
Решение.
Находим S2 = 20/19 28,69 = 30,2, отсюда S = 5,5. Статистика Z имеет нормальное распределение. По альтернативной гипотезе Н1 найдем правостороннюю критическую область
Ф(z) = 1 – 0,01 = 0,99.
По таблицам нормального распределения получаем z=2,33. Отсюда следует, что критическая область имеет вид z >2,33. Вычислим значение статистики по формуле
.
Значение статистики принадлежит критической области. Следовательно, отвергаем гипотезу Н0 и принимаем гипотезу Н1: > 65.
Пример 2. Для непрерывной случайной
величины Y известны
выборочные характеристики:
.
Задано: = 0,1, n = 20.
Проверить: Н0: = - 264 при Н1: < - 264.
Решение.
Вычисляем S2 = 20/19 485,65 = 511,21, отсюда S = 22,6. Статистика t имеет t – распределение с числом степеней свободы n-1. При альтернативной гипотезе Н1 найдем левостороннюю критическую область по условию P(t < t) = 0,1. Из таблицы t – распределения Стьюдента получаем t = 1,33. Отсюда критическая область t < 1,33. Значение статистики вычислим по формуле:
.
Значение статистики не принадлежит критической области и нет оснований отвергать основную гипотезу Н0: > - 264.
Пример 3. Для непрерывной случайной
величины Х, распределенной по
нормальному закону, известны выборочные
характеристики:
.
Задано: = 0,01, n = 20.
Проверить: Н0: 2 = 1876 при Н1: 2 > 1876.
Решение.
Вычислим S2 = 20/19 1786,89 = 1880,94, отсюда S = 43,4. Статистика имеет 2 – распределение с числом степеней свободы n-1. По альтернативной гипотезе Н1 найдем правостороннюю критическую область используя условие и таблицу 2 – распределения Пирсона.
Имеем
P(2 > ) = 0,01, = 36,191, 2 > 36,191.
По формуле вычислим значение статистики:
.
Это значение принадлежит критической области, поэтому гипотеза Н0:
2 = 1876 не будет отвергнута.
Пример 4. Для непрерывных случайных величин Х1 и Х2 известны выборочные характеристики:
.
Задано: = 0,001.
Проверить: Н0: = 0 при Н1: < 0.
Решение.
Вычислим S12 = 6/5 69,14 = 82,97 и S22 = 6/5 10,58 = 12,70. Статистика t имеет t – распределение с числом степеней свободы n1+n2-2. По альтернативной гипотезе Н1 используя условие P(t < t) = 0,001 и таблицу t – распределения найдем левостороннюю критическую область
t = - 4,14, t = - 4,14
По формуле вычислим значение статистики
Это значение не принадлежит критической области, поэтому оснований отвергать гипотезу Н0: = 0 нет, т.е. считаем средние значения генеральных совокупностей равными. При этом мы без проверки предполагали, что дисперсии генеральных совокупностей равны.
Пример 5. Для непрерывных случайных величин Х1 и Х2 известны выборочные характеристики: S12 = 46,97, n1 = 6, S22 = 23,2, n2 = 6.
Задано: = 0,05.
Проверить: Н0: 12 = 22 при Н1: 12 = 22 .
Решение.
Статистика F имеет F – распределение с числом степеней свободы n1 – 1 и n2 - 1. Найдем правостороннюю критическую область согласно условию и по таблицам F – распределения:
P(F < f) = 0,05, f = 4,95, F = 4,95.