Гипотеза о дисперсии нормального распределения

Предполагаем, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение , где параметр  неизвестен. Требуется при уровне значимости  проверить гипотезу Н₀: ²=₀². В качестве статистики используем случайную величину

. (12)

Если гипотеза Н₀ верна, то случайная величина ² имеет ²-распределение Пирсона с числом степеней свободы n-1, где n-объем выборки.

Критическая область определяется в зависимости от альтернативной гипотезы Н₁ по таблице ²-распределения (см. Приложение таблицу 5).

Если альтернативная гипотеза имеет вид Н₁: ²<₀², то используем левостороннюю критическую область, удовлетворяющую условию

. (13)

Таблица ²-распределения составлена в соответствии с противоположным условием. Значит, для нахождения из таблицы х_ используем условие

. (14)

При альтернативной гипотезе Н₁: ²>₀² находим правостороннюю критическую область исходя из условия

. (15)

по которому х_ можно найти непосредственно из таблицы.

При альтернативной гипотезе Н₁: ²≠₀² находим двустороннюю критическую область согласно условию

. (16)

Обычно принимают симметричную по вероятности критическую область, удовлетворяющую условию

(17)

Для этого условия из таблицы можно сразу найти x’’_, а для получения x’_ следует преобразовать условия [см. формулы (13) и (14)]

. (18)

По выборке нужно вычислить несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности S², а затем по формуле (12) можно найти значение статистики ².

Гипотеза о равенстве двух средних значений

Предполагаем, что заданы две генеральные совокупности с нормальным распределением , , при этом стандартные отклонения ₁ и ₂, неизвестны, но должны быть равными. Сначала нужно проверить гипотезу о равенстве дисперсий. Из обеих генеральных совокупностей сделаны независимые выборки с параметрами n₁, x₁, S₁ и n₂, x₂, S₂ соответственно.

Обозначим разность средних значений через =₁-₂. Зафиксировав уровень значимости , проверим гипотезу Н₀: =₀, используя статистику

. (19)

Если гипотеза Н₀ верна, то случайная величина t имеет t-распределение с числом степеней свободы n₁+n₂-2. Обычно ₀=0, т.е. проверяется гипотеза о равенстве средних значений генеральных совокупностей.

Критическая область определяется в зависимости от вида альтернативной гипотезы Н₁ (<₀, >₀ или ₀) по таблице t-распределения (см. Приложение таблицу 1).

Гипотеза о равенстве двух дисперсий

Предполагаем, как и в предыдущем пункте, что заданы две генеральные совокупности Х₁ и Х₂ с нормальным распределением: , . Из этих генеральных совокупностей сделаны независимые выборки с параметрами n₁, S₁² и n₂, S₂² соответственно. Требуется при уровне значимости  проверить гипотезу Н­₀: при альтернативной гипотезе Н₁: . Обычно здесь другие альтернативные гипотезы не используют.

Предполагая, что , принимаем в качестве статистики величину

. (20)

Если гипотеза Н₀ верна, то случайная величина F имеет F-распределение Фишера с числами степеней свободы n₁-1 и n₂-1. Критическая область будет только правосторонняя и определяется условием

. (21)

Значение f_ найдем из таблиц F-распределения (см. Приложение таблицу 7). Значение f_ зависит от трех величин: уровня значимости  и двух чисел степеней свободы k₁ и k₂. В таблицах число степеней свободы большей дисперсии k₁ находится в верхней части таблицы.