Гипотеза о среднем значении нормального распределения при известном σ

Предполагаем, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение X N(μ,σ), где значение σ известно. При уровне значимости α нужно проверить гипотезу H₀: μ =μ₀. В качестве альтернативной можно использовать одну из следующих гипотез H₁: μ <μ₀, H₁: μ >μ₀ или Н₁: μ ≠ μ₀. В качестве статистики воспользуемся случайной величиной

(1)

которая при истинной гипотезе Н₀ имеет нормированное нормальное распределение Z N(0,1).

Критическую область определяем с помощью таблицы функции распределения.

Если альтернативная гипотеза имеет вид H₁: μ <μ₀, то используем левостороннюю критическую область, которая удовлетворяет (рис. 2) следующему условию:

P (Z< - z_α) =Ф (-z_α)=α. (2)

Таблицы составлены только для положительных значений аргумента, поэтому из таблицы найдем z_α, учитывая, что

Ф (z_α)=1-α. (3)

Отсюда следует, что критическая область – это множество таких Z, для которых

Z < - z_α. (4)

Если альтернативная гипотеза имеет вид H₁: μ >μ₀, то используем правостороннюю критическую область, которая удовлетворяет (рис. 4.3) условию

P (Z > z_α) =α. (5)

Из таблицы получаем значение z_α, учитывая, что

P (Z < z_α) =Ф (z_α)=1-α. (6)

Отсюда находим критическую область

Z > z_α. (7)

И наконец, при альтернативной гипотезе Н₁: μ ≠ μ₀ используем двустороннюю критическую область, удовлетворяющую (рис. 4) условию

(8)

Учитывая определение абсолютной величины, находим

P (Z < z_α) =Р (Z >z_α)=α/2.

По формулам (5) и (6) получаем условие использования таблицы:

Ф (z_α)=1-α/2. (9)

Таким образом, критическая область имеет вид

(10)

Для вычисления значения статистики с помощью формулы (1) нужно по выборке найти среднее арифметическое .

Рис.4. Двусторонняя критическая область

Гипотеза о среднем значении нормального распределения при неизвестном σ

Предположения те же, что и в предыдущем разделе, но только σ неизвестно. В этом случае в качестве статистики используют случайную величину

(11)

которая, если верна гипотеза Н₀, имеет t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы n – 1, где n – объем выборки.

Критические области определяются так же, как и в предыдущем разделе. Но использование таблицы t-распределение Стьюдента проще, так как она составлена именно для определения критических областей. При нахождении левосторонней или правосторонней критических областей используем верхнюю часть таблицы, а для двусторонней – нижнюю.

Перед вычислением по формуле (11) значения статистики t нужно по выборке вычислить и S.